线性规划和对偶问题_学习笔记
线性规划和对偶问题
任一线性规划问题都存在另一与之伴随的线性规划问题，它们组成一对互为对偶的线性规划问题。
线性规划的对偶问题与原问题互为对偶，线性规划的原问题与对偶问题地位具有对称关系。
原问题和对偶问题的转化
例子
原问题：
对偶问题：
转化方法
1、原问题有几个约束，对偶问题就有几个变量
2、原来的约束系数矩阵转个置就是对偶问题的约束系数矩阵
3、原来的目标函数系数变对偶问题约束常量，原来的约束常量变对偶问题的目标系数
4、左边求最大，右边求最小，按照这个模板带进去就可以了 ——大佬
对偶问题的性质
在这里给出对偶问题的一些基本结论，暂不做证明
弱对偶引理：假设
x
x
x 和
λ
λ
λ 分别是线性规划的原问题和对偶问题（对称形式及非对称形式）的可行解，则
x
T
x
≥
λ
T
b
x^Tx\ge λ^Tb
xTx≥λTb ，即“极大值
≤
\le
≤ 极小值”。
定理1：假设 x 0 x_0 x0 和 λ 0 λ_0 λ0 分别是原问题和对偶问题的可行解，如果 c T x 0 ≥ λ 0 T b c^Tx_0\ge λ_0^Tb cTx0≥λ0Tb，那么 x 0 x_0 x0 和 λ 0 λ_0 λ0 分别是各自问题的最优解。
定理2（对偶定理）：如果原问题有最优解，那么其对偶问题也有最优解，并且它们目标函数的最优解相同。
定理3（互补松弛条件）：
x
x
x 和
λ
λ
λ 分别是原问题和对偶问题的可行解，则它们分别是各自问题的最优解的充分必要条件为
1.
(
c
T
−
λ
T
A
)
x
=
0
2.
λ
T
(
A
x
−
b
)
=
0
\begin{aligned} & 1.\ \ \ \ (c^T-λ^TA)x=0 \\ & 2.\ \ \ \ λ^T(A_x-b)=0 \end{aligned}
1. (cT−λTA)x=02. λT(Ax−b)=0
