最小割的数学定义的运用

最小割的数学定义，令 $x$ 为一个 $01$ 变量，我们假设若 $x$ 最后在 $S$ 集合，则 $x=0$ ，否则 $x=1$

则边 $(S,x,a)$ 对答案的贡献就为 $ax$

则边 $(x,T,a)$ 对答案的贡献为 $a(1-x)$

则边 $(x,y,a)$ 对答案的贡献为 $a(1-x)y$

运动就是 现在给你 $n$ 个点，你需要给它们赋值成 $0$ 或者 $1$ ，然后点与点之间还有一些费用，形如：若点 $i$ 与点 $j$ 值不相等，就需要 $w$ 的费用。或者像：若点 $i$ 为 $1$ ，点 $j$ 也为 $1$ ，则需要 $w$ 的费用。 等等诸如此类的费用。现在问你怎么赋值才能让它的费用最小。

然后你发现这些费用就和上面的边的贡献一样，于是无脑建图，网络流求最小割，结束。

这个问题本质是和最小割没什么关系，但由于最小割的数学定义，这个问题能用网络流来求。有点离谱，类似于差分约束和最短路没啥关系，但因为最短路能解它。勉强算是个最小割小科技。

无脑把每个点拆成四个点，是否横着被刷黑，是否竖着被刷黑，是否横着被刷白，是否竖着被刷白。问题就变成了把这些点赋值 $0$ 或者 $1$ 需要的最小费用。你发现题目限制给的完全就是为了应和最小割数学定义，就挺无语。所以就无脑建图跑最小割，结束。

#include <bits/stdc++.h>
#define N 41
#define M 200005
using namespace std;
const int inf=1e9;
int n,m,a,b,c,cnt,S,T;
int bh[N][N],wv[N][N],_wh[N][N],_bv[N][N];
char s[N][N]; 
int f[M],nxt[M],data[M],fl[M],_=1,cur[M];
int dep[M];
void add(int x,int y,int z){
	nxt[++_]=f[x]; f[x]=_; data[_]=y; fl[_]=z;
	nxt[++_]=f[y]; f[y]=_; data[_]=x; fl[_]=0;
}
bool BFS(){
//	cout<<1<<'\n';
	queue<int> q;
	for(int i=1;i<=T;i++) dep[i]=0,cur[i]=f[i];
	q.push(S); dep[S]=1;
	int x,y;
	while(!q.empty()){
		x=q.front(); q.pop();
//		cout<<x<<'\n';
		for(int i=f[x];i;i=nxt[i]){
//			cout<<i<<'\n';
			y=data[i]; if(!fl[i]||dep[y])continue;
			dep[y]=dep[x]+1; q.push(y);
		}
	}
	return (bool)dep[T];
}
int dinic(int x,int maxfl){
	if(x==T) return maxfl;
	int res=0,y,now;
//	cout<<x<<'\n';
	for(int i=cur[x];i;i=nxt[i]){
//		cout<<i<<'\n';
		cur[x]=i; y=data[i]; 
		if(!fl[i]||dep[y]!=dep[x]+1)continue; 
		now=dinic(y,min(maxfl-res,fl[i])); 
		fl[i]-=now,fl[i^1]+=now;
		res+=now; 
		if(res==maxfl) return res;
	}
	return res;
}
void solve(){
//	cout<<"1\n";
	int res=0;
	while(BFS()){ res+=dinic(S,inf); } 
	cout<<res<<'\n';
}
void work(){
	
	memset(f,0,sizeof(f)); _=1;
	int a,b,c;
	cin>>n>>m>>a>>b>>c;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",s[i]+1);
	cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			bh[i][j]=++cnt,wv[i][j]=++cnt,_wh[i][j]=++cnt,_bv[i][j]=++cnt;
	S=++cnt,T=++cnt;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			add(S,bh[i][j],a),add(S,wv[i][j],a),add(_bv[i][j],T,a),add(_wh[i][j],T,a);
			if(j==m) add(S,bh[i][j],b);
			else add(bh[i][j+1],bh[i][j],b);
			if(j==m) add(_wh[i][j],T,b);
			else add(_wh[i][j],_wh[i][j+1],b);
			if(i==n) add(_bv[i][j],T,b);
			else add(_bv[i][j],_bv[i+1][j],b);
			if(i==n) add(S,wv[i][j],b);
			else add(wv[i+1][j],wv[i][j],b);
			if(s[i][j]=='#'){
				add(bh[i][j],_bv[i][j],c);
				add(S,wv[i][j],inf); add(_wh[i][j],T,inf);
			}
			else{
				add(wv[i][j],bh[i][j],c); add(_bv[i][j],_wh[i][j],c);
				add(_bv[i][j],bh[i][j],inf);
			}
			s[i][j]='\0';
		}
	}
	solve();
}
int main(){
//	freopen("test.in","r",stdin);
	int T; cin>>T;
	while(T--){ work(); }
}