最小割的数学定义的运用
最小割的数学定义,令 x x x 为一个 01 01 01 变量,我们假设若 x x x 最后在 S S S 集合,则 x = 0 x=0 x=0 ,否则 x = 1 x=1 x=1
则边 ( S , x , a ) (S,x,a) (S,x,a) 对答案的贡献就为 a x ax ax
则边 ( x , T , a ) (x,T,a) (x,T,a) 对答案的贡献为 a ( 1 − x ) a(1-x) a(1−x)
则边 ( x , y , a ) (x,y,a) (x,y,a) 对答案的贡献为 a ( 1 − x ) y a(1-x)y a(1−x)y
运动就是 现在给你 n n n 个点,你需要给它们赋值成 0 0 0 或者 1 1 1 ,然后点与点之间还有一些费用,形如:若点 i i i 与点 j j j 值不相等,就需要 w w w 的费用。或者像:若点 i i i 为 1 1 1 ,点 j j j 也为 1 1 1 ,则需要 w w w 的费用。 等等诸如此类的费用。现在问你怎么赋值才能让它的费用最小。
然后你发现这些费用就和上面的边的贡献一样,于是无脑建图,网络流求最小割,结束。
这个问题本质是和最小割没什么关系,但由于最小割的数学定义,这个问题能用网络流来求。有点离谱,类似于差分约束和最短路没啥关系,但因为最短路能解它。勉强算是个最小割小科技。
无脑把每个点拆成四个点,是否横着被刷黑,是否竖着被刷黑,是否横着被刷白,是否竖着被刷白。问题就变成了把这些点赋值
0
0
0 或者
1
1
1 需要的最小费用。你发现题目限制给的完全就是为了应和最小割数学定义,就挺无语。所以就无脑建图跑最小割,结束。
#include <bits/stdc++.h>
#define N 41
#define M 200005
using namespace std;
const int inf=1e9;
int n,m,a,b,c,cnt,S,T;
int bh[N][N],wv[N][N],_wh[N][N],_bv[N][N];
char s[N][N];
int f[M],nxt[M],data[M],fl[M],_=1,cur[M];
int dep[M];
void add(int x,int y,int z){
nxt[++_]=f[x]; f[x]=_; data[_]=y; fl[_]=z;
nxt[++_]=f[y]; f[y]=_; data[_]=x; fl[_]=0;
}
bool BFS(){
// cout<<1<<'\n';
queue<int> q;
for(int i=1;i<=T;i++) dep[i]=0,cur[i]=f[i];
q.push(S); dep[S]=1;
int x,y;
while(!q.empty()){
x=q.front(); q.pop();
// cout<<x<<'\n';
for(int i=f[x];i;i=nxt[i]){
// cout<<i<<'\n';
y=data[i]; if(!fl[i]||dep[y])continue;
dep[y]=dep[x]+1; q.push(y);
}
}
return (bool)dep[T];
}
int dinic(int x,int maxfl){
if(x==T) return maxfl;
int res=0,y,now;
// cout<<x<<'\n';
for(int i=cur[x];i;i=nxt[i]){
// cout<<i<<'\n';
cur[x]=i; y=data[i];
if(!fl[i]||dep[y]!=dep[x]+1)continue;
now=dinic(y,min(maxfl-res,fl[i]));
fl[i]-=now,fl[i^1]+=now;
res+=now;
if(res==maxfl) return res;
}
return res;
}
void solve(){
// cout<<"1\n";
int res=0;
while(BFS()){ res+=dinic(S,inf); }
cout<<res<<'\n';
}
void work(){
memset(f,0,sizeof(f)); _=1;
int a,b,c;
cin>>n>>m>>a>>b>>c;
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",s[i]+1);
cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
bh[i][j]=++cnt,wv[i][j]=++cnt,_wh[i][j]=++cnt,_bv[i][j]=++cnt;
S=++cnt,T=++cnt;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
add(S,bh[i][j],a),add(S,wv[i][j],a),add(_bv[i][j],T,a),add(_wh[i][j],T,a);
if(j==m) add(S,bh[i][j],b);
else add(bh[i][j+1],bh[i][j],b);
if(j==m) add(_wh[i][j],T,b);
else add(_wh[i][j],_wh[i][j+1],b);
if(i==n) add(_bv[i][j],T,b);
else add(_bv[i][j],_bv[i+1][j],b);
if(i==n) add(S,wv[i][j],b);
else add(wv[i+1][j],wv[i][j],b);
if(s[i][j]=='#'){
add(bh[i][j],_bv[i][j],c);
add(S,wv[i][j],inf); add(_wh[i][j],T,inf);
}
else{
add(wv[i][j],bh[i][j],c); add(_bv[i][j],_wh[i][j],c);
add(_bv[i][j],bh[i][j],inf);
}
s[i][j]='\0';
}
}
solve();
}
int main(){
// freopen("test.in","r",stdin);
int T; cin>>T;
while(T--){ work(); }
}