线性规划 KM算法
有这样一个线性规划问题，求答案以及方案
M
i
n
i
m
i
z
e
S
a
t
i
s
f
y
{
∑
u
∈
L
y
u
+
∑
v
∈
R
y
v
y
u
+
y
v
≥
w
u
,
v
(
(
u
,
v
)
∈
E
)
y
u
≥
0
y
v
≥
0
Minimize\ Satisfy\\ \begin{cases} \sum_{u\in L}y_u+\sum_{v\in R}y_v \\ y_u+y_v\ge w_{u,v}((u,v)\in E)\\ y_u\ge 0 \\ y_v\ge 0 \end{cases}
Minimize Satisfy⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧∑u∈Lyu+∑v∈Ryvyu+yv≥wu,v((u,v)∈E)yu≥0yv≥0
先无脑对偶再说 (打广告)线性规划和对偶问题_学习笔记
M
a
x
i
m
i
z
e
S
a
t
i
s
f
y
{
∑
(
u
,
v
)
∈
E
w
u
,
v
x
u
,
v
∑
v
∈
R
x
u
,
v
≤
1
∑
u
∈
L
x
u
,
v
≤
1
x
u
,
v
∈
{
0
,
1
}
Maximize\ Satisfy\\ \begin{cases} \sum_{(u,v)\in E}w_{u,v}x_{u,v} \\ \sum_{v\in R}x_{u,v}\le1\\ \sum_{u\in L}x_{u,v}\le1\\ x_{u,v}\in\{0,1\} \end{cases}
Maximize Satisfy⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧∑(u,v)∈Ewu,vxu,v∑v∈Rxu,v≤1∑u∈Lxu,v≤1xu,v∈{0,1}
然后我们敏锐的发现，这个
x
x
x 可以看成一个矩阵，两个和式的限制意思就是每一行每一列最多有一个点为
1
1
1 ，而且若某个点为
1
1
1 就会对应有
w
w
w 的贡献。
把 n n n 行 和 n n n 列看成 2 n 2n 2n 个点，把 x x x 矩阵看成边，为 1 1 1 就是对应行和列连边。然后下面这个问题就是个最大权二分图匹配。直接网络流就行了。
然后让我们回到这个问题
M
i
n
i
m
i
z
e
S
a
t
i
s
f
y
{
∑
u
∈
L
y
u
+
∑
v
∈
R
y
v
y
u
+
y
v
≥
w
u
,
v
(
(
u
,
v
)
∈
E
)
y
u
≥
0
y
v
≥
0
Minimize\ Satisfy\\ \begin{cases} \sum_{u\in L}y_u+\sum_{v\in R}y_v \\ y_u+y_v\ge w_{u,v}((u,v)\in E)\\ y_u\ge 0 \\ y_v\ge 0 \end{cases}
Minimize Satisfy⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧∑u∈Lyu+∑v∈Ryvyu+yv≥wu,v((u,v)∈E)yu≥0yv≥0
考虑如下描述新产生的问题：为二分图上每一个节点设置一个非负的顶标，要求每条边两侧点的顶标之和不小于边权，并且最小化所 有点的顶标和。
令二分图左侧点的顶标为 x i xi xi ，右侧点的顶标为 y i yi yi 。 我们称一组顶标是合法的，当且仅当其满足了每条边两侧点的顶 标之和不小于边权。对于一组合法的顶标，若边 ( u , v , w ) (u, v, w) (u,v,w) 满足 x u + y v = w x_u + y_v = w xu+yv=w ，则称该边为一条等边。
KM 算法是基于对一组初始时合法的顶标进行调整的算法，由对 偶线性规划的性质，二分图中任意一组合法的匹配的权值和一定不大 于任意一组合法的顶标和，从而若能找到一组由等边构成的完美匹配， 我们就找到了两个问题的一个公共解，因此也是两个问题各自的最优解。
因此，我们希望找到一条由等边构成的增广路。
理解了原理，具体做法就很简单了，每次当等边组成的联通块扩大，然后增广即可。
s_b_CS_DN’s_KATEX
#include <bits/stdc++.h>
#define N 55
using namespace std;
const int inf=1e9;
int n,m,w[N][N],data_x[N],data_y[N];
int vis_x[N],vis_y[N],slack[N],q[N<<1];
int pre[N],rig[N],lef[N];
void BFS(int x){
int ql=0,qr=0; q[++qr]=x,vis_x[x]=1;
while(1){
while(ql<qr){
int x=q[++ql];
for(int y=1;y<=n;y++){
if(vis_y[y]) continue;
int dif=data_x[x]+data_y[y]-w[x][y];
if(dif<=slack[y]){
pre[y]=x; slack[y]=dif;
if(!dif){
vis_y[y]=1;
if(!lef[y]){
for(;y;lef[y]=pre[y],swap(rig[pre[y]],y));
return;
}
else q[++qr]=lef[y],vis_x[lef[y]]=1;
}
}
}
}
int val=inf,y;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!vis_y[i]&&val>slack[i]) y=i,val=slack[i];
for(int i=1;i<=n;i++){
if(vis_x[i]) data_x[i]-=val;
if(vis_y[i]) data_y[i]+=val;
else slack[i]-=val;
}
if(!lef[y]){
for(;y;lef[y]=pre[y],swap(rig[pre[y]],y));
return;
}
else vis_y[y]=vis_x[lef[y]]=1,q[++qr]=lef[y];
}
}
void KM(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++)
vis_x[j]=vis_y[j]=0,slack[j]=inf;
// cout<<i<<'\n';
BFS(i);
}
}
int main(){
// freopen("matrix.in","r",stdin);
// freopen("matrix.out","w",stdout);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
cin>>w[i][j];
data_x[i]=max(data_x[i],w[i][j]);
data_y[j]=max(data_y[j],w[i][j]);
}
}
KM();
int res=0;
for(int i=1;i<=n;i++) res+=data_x[i]+data_y[i];
cout<<res*n<<'\n';
if(m)
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
cout<<data_x[i]+data_y[j]<<' ';
}
cout<<'\n';
}
}
