20210624一些杂题

今天做的是蒋神找的杂题（居然包括了昨天才结束的 IOI day1。

代码占篇幅就不贴了（其实就是我没写

然后体验感就是上个月才做的原题今天再看我已经不认识它了

占坑，先写一下口胡的分析吧，代码会争取写完的。

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LOJ3523. 「IOI2021」分糖果

4s, 2048MB

给定长为 $n$ 的数组 $c_i$。你有一个长为 $n$ 的数组 $a_i$，初始时全 $0$。按顺序执行 $q$ 次操作，每次操作是给定 $l_j,r_j,v_j$（$v_j$ 可能为负数），对所有 $l_j\le k\le r_j$，将 $a_k$ 加上 $v_j$，然后对 $c_k$ 取 $\min$，并对 $0$ 取 $\max$。求执行所有操作之后的数组 $a_i$。

• $1\le n\le 200000$。
• $1\le q\le 200000$。

分析 ：

对于每一个位置来考虑，如果不要求 $a$ 要在 $[0,c]$ 之间，那么 $a$ 的变化就比较简单，我们记此时的 $a$ 在 $i$ 时刻的值为 $a_i$ ，考虑由 $a_i$ 构成的序列。

我们求出这个序列中的最短的一个后缀 $[l,r]$ ，满足 ${\max }_{i\in [l,r]}{a}_i-{\min }_{i\in [l,r]}{a}_i>c$ 。

这就意味着，如果后缀的第一个值是 $\max$ ，那么在取到 $\min$ 时实际的 $a$ 等 $0$ 。同理得如果第一个值是 $\min$ ，那么取到 $\max$ 时实际的 $a$ 等于 $c$ 。（这里是关键

然后就很简单了，拿线段树就可以维护，找后缀的时候在线段树上二分。

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LOJ3524. 「IOI2021」钥匙

2s, 2048MB

给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，第 $i$ 个点包含第 $r_i$ 种钥匙，第 $j$ 条边连接 $u_j$, $v_j$，且需要拥有第 $c_j$ 种钥匙才能通过。注意不同点的钥匙种类可能相同，并且钥匙是无限使用的。到达一个点的时候就能得到这个房间的钥匙。设 $p_i$ 为从 $i$ 出发能到达的房间个数，求 $p_i$ 最小的下标集合。

• $2\le n\le 3\cdot 10^5$。
• $1\le m\le 3\cdot 10^5$。

分析 ：

感觉这题做法肯定很多。任找一个点开始 $dfs$ ，一个点可以走向它一步即可到达的点，如果找到了环，那么就把环缩成一个新点，从新点开始继续 $dfs$ ，最后答案就是没有出边的点中的 $size$ 最小的那个。关键是缩点时启发式合并，同时处理出可以通过的边。

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GYM103119B. Boring Problem

1s, 512MB

给定 $n$ 个长度都为 $m$ 的字符串 $T_1,T_2,\dots ,T_n$。这些字符串（包括之后出现的字符串）都只包含前 $k$ 个小写字母。对于给定的字符串 $S$，考虑以下过程：

1. 如果 $S$ 包含某个 $T_j$ 作为子串，则结束过程。
2. 否则，在 $S$ 之后以 $p_i$ 的概率添加第 $i$ 个小写字母，然后回到第 1 步。

定义 $f(S;T,p)$ 为过程结束时 $S$ 的期望长度。

给定字符串 $R$，对每个 $i=1,2,\dots ,|R|$，求出 $f(R[:i];T,p)$ 对 $10^9+7$ 取模后的结果。

• $1\le n\le 100$。
• $1\le n\cdot m\le 10000$。
• $1\le k\le 26$。
• $1\le |R|\le 10000$。

分析 ：

建出 AC 自动机，$f_i$ 表示在点 $i$ 的答案，对于每个点 $i$ 都有方程 $f_i=1+{\sum }_j{P}_j\times f_{next(i,j)}$ ，当然叶子节点的方程直接等于 0 了。

由于这是一个 AC 自动机，所以如果一个点的父亲只有它一个儿子，那么它的 $f$ 值就可以用深度比它小的若干个点的 $f$ 值表示出来。考虑 保留一些关键点，剩下的点的 $f$ 值用关键点的值来表示。可以发现我们只需要保留 其父亲的儿子个数超过 $1$ 的点，由于叶子节点的个数为 $n$ ，所以保留的点的个数也是 $O(n)$ 的，高斯消元即可。

（updata 6.25 单独写了详细版本的分析 在这里 ，因为这道题一个细节卡了我一下午

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GYM103102H. AND = OR

3s, 1024MB

给定非负整数列 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，有 $q$ 次询问，每次询问给定 $l_i$, $r_i$，判断 $a_{l_i},a_{l_i+1},\dots ,a_{r_i}$ 能否分成两组，满足每一组都非空，且第一组所有数的 AND 等于第二组所有数的 OR。

• $1\le n\le 10^5$。
• $1\le q\le 10^5$。

分析 ：

设答案等于 $k$（就是让两边相等的值），那么所有 $popcount(a_i)<popcount(k)$ 的数都在 OR 组，所有 $popcount(a_i)>popcount(k)$ 的数都在 AND 组。且 $popcount(a_i)=popcount(k)$ 的数必须相等，否则构造不出解。然后就可以随便做了，枚举 $popcount(k)$ ，用 st 表查出按位与和按位或的答案，最后判一下 $popcount$ 和答案相等数放哪一组即可。

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GYM103102J. One Piece

3s, 256MB

给定一棵 $n$ 个点的树。每个点上有独立的 $1/2$ 概率存在宝藏。已知点 $i$ 与所有宝藏的距离的最大值为 $a_i$，将所有点按照存在宝藏的概率从大到小排序，相同的按照编号从小到大排序。

• $1\le n\le 250000$。
• 保证存在一个非空的宝藏集合满足题目的限制。

分析 ：

先把一定不可能有宝藏的点删掉。然后找到直径的中点 $mid$ ，直径的长度为 $len$ 。那么点 $u$ 离距离它最远的宝藏的长度应为 $dis(mid,u)+len/2$ ，显然非直径端点的点存在宝藏的概率为 $1/2$ ，且直径中点至少有两个儿子满足子树中存在直径端点有宝藏。所以对于一个直径端点，其对应的中点儿子子树的直径端点个数越多，它存在宝藏的概率就越小。然后这个题就做完了。

（然后实际上一开始不需要把不可能存在宝藏的点删掉，因为直径中点一定是 $a_i$ 最小的点。

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GYM103102C. 3-colorings

2s, 256MB

本题没有输入。

请先构造一张不超过 $19$ 个点的无向图 $G$，然后对每个 $1\le k\le 500$，在图 $G$ 的基础上添加至多 $17$ 条边得到图 $G_k$，满足 $G_k$ 有恰好 $6k$ 种三染色的方案。

分析 ：不想画图，略了。

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CF1508D. Swap Pass

2s, 256MB

给定平面上 $n$ 个点，保证没有三点共线。每个点上有一个标记 $a_i$，$a_1,a_2,\dots ,a_n$ 是 $1,2,\dots ,n$ 的一个排列。你可以进行任意次以下操作：

• 选择两个点 $i$, $j$，交换 $i,j$ 上的标记，并在 $i$, $j$ 之间画一条线段。

你需要使得第 $i$ 个点上的标记是 $i$，且任意两条线段不在除公共端点以外的点上相交。找到任意一个合法方案。

• $3\le n\le 2000$。

分析 ：

先把标记正确的点删掉。再任选一个点 $u$ ，然后每个点按和点 $u$ 构成的直线的极角排序，排完序后挨着交换使得最后的置换是一个环，剩下的每次交换都和 $u$ 换即可。

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CF1508F. Optimal Encoding

7s, 1024MB

给定长为 $n$ 的排列 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 以及 $q$ 个区间 $[l_i,r_i]$。

给出以下定义：

• 排列 $b_1,b_2,\dots ,b_n$ 能够让区间 $[l^{\prime },r^{\prime }]$ 保持形状，若对任意的 $x,y(l^{\prime }\le x<y\le r^{\prime })$，都有 $b_x<b_y$ 当且仅当 $a_x<a_y$。
• 排列 $b_1,b_2,\dots ,b_n$ 是 $k$-相似的，若 $b$ 能够让所有区间 $[l_i,r_i](1\le i\le k)$ 保持形状。
• 排列 $b_1,b_2,\dots ,b_n$ 满足 DAG $G^{\prime }$，若对于 $G^{\prime }$ 中的每条边 $u\to v$，都有 $b_u<b_v$。
• 一个 $k$-编码是一张 DAG $G_k$，使得排列 $b_1,b_2,\dots ,b_n$ 满足 $G_k$ 当且仅当 $b$ 是 $k$-相似的。

对每个 $k(1\le k\le q)$，求出一个 $k$-编码最少拥有的边数。

• $1\le n\le 25000$。
• $1\le q\le 100000$。

分析 ：

原题。考虑我们需要保留下来的边要满足什么，实际就是需要这两个点在每个区间按值排序后都相邻。由莫队算法我们可以知道，可能保留的边的个数是 $O(n\sqrt{q})$ 的。我们把这些边找出来，然后每次加入一个新的区间的时候把没有出现过的边加进去，考虑加进去的边什么时候会被删除，那就是第一个使这两个点不相邻的区间出现后就会被删除，这个不难求，不赘述了。