20210712博弈论&树分治杂题

昨天就到诸暨了，轿车 $\to$ 飞机 $\to$ 大巴，路上花了五个小时。

两点钟到海高就被拉去打美团杯了，然而由于奔波了整个上午，我们的黄队直接累的下线了。剩我和官聚聚在机房水了美团杯，到五点也滚去吃饭了。喜闻乐见最后没进滚榜，，没话说，这么极限的时间，你还想怎样？（虽然但是就是很不甘心啊

今天凌晨三点有欧洲杯的决赛，直播是不可能看的，恭喜意大利夺冠！

上午是彭思进大佬的讲课 博弈&树分治 ，相比pb大师的劝退式讲课法，彭ls的体验感就好多了，还很贴心地问了大家有没有听懂。

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关于博弈论

从来没有系统的学过博弈论，但是做过这么多考试里面的博弈题，连蒙带猜地搞到过不少分，勉勉强强算是入了个门。

但具体到博弈的考点，额，我不知道有什么考点，我只会猜。

博弈论的常见考点：Nim 、公平游戏组合与 SG 函数； Nim 变种（阶梯 Nim、Anti-Nim、树上 Nim……）； 经典游戏模型（威佐夫、无向图删点、K-减法……）

之前做过的博弈论题的话，我想可能只有历次模拟赛的jiangly场的T3了，额，算了，补不动。

接下来是今天的杂题。

Gym102361K

题意：两人轮流取当前树的叶子的集合，取不动的就输了，问先手有没有必胜策略。

分析：博弈里面有个技巧叫模仿，先假设若先手取了某一个叶子，并且没有产生新的叶子。

若此时的局面变成了必败，那显然先手必胜。

若此时的局面变成了必胜，那么后手下一步取了一些叶子后，局面又会是必败。此时我们让先手第一次就取掉这些叶子，那又是先手必胜了。

如果不存在取了某一个叶子同时不产生新的叶子，说明每一个叶子都在一条独立的链上，设这些链长为 $a_1,a_2,...,a_n$ ，新的问题变成了两人轮流可以将一些 $a_i$ 减一，先减到 $0$ 的人取胜。

这个问题是先手必胜的，因为先手只每次操作完所有 $a_i$ 都是偶数就可以保证取胜。

LOJ6558

题意：给定 $N$ 堆石子，两人轮流操作，先手每次可以从一堆中取至多 $A$ 个石子，后者每次可以从一堆中取至多 $B$ 个石子，判断先手能否取胜

分析：分情况讨论

• $A=B$ 时，就是一个nim游戏，每一堆石子是独立，SG 函数为 $a_{i}mod(A+1)$ ，把每一堆的 SG 函数亦或起来，若最后的 SG 函数不为 $0$ 则先手必胜，否则先手必败。
• $A>B$ 时，如果先手和后手玩 $A=B$ 先手就能获胜那就不管，否则先手先在一堆中取 $B+1$ 个然后再和后手玩 $A=B$ ，此时也能取胜。若取不了 $B+1$ 个，先手就输了。
• $A<B$ 时，先手肯定想的是逼后手来陪他玩 $B=A$ 的情况，这就要求先手第一次取完过后 SG 函数 =0 且每一堆石子的个数都不超过 $A$ ，此时先手必胜。反之先手必败。

NOI2011D2T3

题意： 给定一个 n × m 的棋盘，棋盘上除了一个空格外每个格子都有一或黑或白的棋子。双方轮流行动，每次先手可以将一个与空格相邻的白色棋子移动到空格内，后手可以将一个与空格相邻的黑色棋子移动到空格内。判断局面的胜负。

分析：观察空格的移动轨迹，手玩可以发现空格的移动路径一定不会出现环，把空格的起点看成黑点，移动路径则是黑白相间的。

接下来将相邻的黑白点连边构成一张图，新的问题变成了，先后手轮流取点，取过的点就删掉，要求这次取的点和上一次对方取的点有边。先手第一次取的点要和起点有边。

结论就是先手必胜当且仅当起点在所有的最大匹配里面。

这个怎么理解呢？分情况讨论一下

• 当起点在所有最大匹配中时，先手可以每次都沿着匹配边取点，而后手是取不到最大匹配外的点的（这里指所有最大匹配外的点），所以每次先手都能沿匹配边走，此时先手必胜。
• 如果有一个最大匹配不包含起点，此时先手第一次只能取有匹配的点，不然就不是最大匹配了。那么后手每次都能沿着匹配边走，所以后手就必胜了。

所以可以每次dinic一遍求解。

HDU2486

题意： 有 n 个石子，双方轮流操作，先手第一次能取至多 n − 1 个石子；除了先手第一次外每次操作，设另一方上一次操作取了 m 个石子，则这一次操作至多能取 km 个石子，取走最后一个石子即获胜。判断先手能否获胜。

分析：限制不一定是 $km$ ，只要是单增的任意函数 $f(m)$ 都可以。

记 $h_i$ 为第 $i$ 大的必败的初始值，考虑如果我们现在知道了 $h_1,h2,...,h_i$，如何来求 $h_{i+1}$ 。

设 $h_{i+1}=h_i+S$

首先若 $f(S)<h_i$ ，那么 $h_i+S$ 是必胜态，因为此时可以一步就能到 $h_i$ 且加上 $f(S)$ 的限制后 $h_i$ 还是必败。

所以 $f(S)\ge h_i$ ，现在双方都想先抢到 $h_i$ 这个点，如果在 $S$ 这半截先手必胜，那先手就和后手玩 $S$ 这一截。否则先手就抢不到 $h_i$ ，那先手就输了。

为什么不是抢 $h_i-1$ ？因为最后一步走到 $h_i$ 比走到 $h_i-1$ 限制更小，而且 $h_i$ 是必败态，一定更优。

所以 $h_{i+1}=h_i+h_t,f(h_t)\ge h_i,t\text{最小}$ 。

CF1149E

题意：给定一个（不一定弱连通的）DAG，初始每个节点上有若干个石子。双方轮流操作，每次可以选择一个节点，移去其上的至少一个石子，然后任意调整其直接后继的石子数量（可以加可以删，
但要保证石子数非负），无法操作者输。判断先手能否胜利，如果可以胜利，给出先手的一个可以到达胜利的第一步策略。

分析：这个题知道结论后巨好理解。

把点分层满足，选第 $i$ 层的点可以任意改变第$1,2,...,i-1$ 层的亦或和。同层的点不能有连边。

只要先手第一步能把所有层的亦或和变为 $0$ 则先手必胜。

为什么就懒得说了，这个也不难理解。

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然后是树分治的题，在之前树分治就已经很熟练了，不赘述（因为这东西要去写啊，口糊了没有用。