多项式&生成函数_杂题

昨天上午 fateice 大神讲 dp 计数，下午听 zzq 讲微积分和线代入门（啊我一个老年选手为什么要去听入门啊喂

当 zzq 神带我复习了，不亏。

今天上午模拟赛 zzq 场，黄队说可能是最后一场信心赛了，算了，我三个题都莽的暴力不好说啥了。

哦还有，边分治+闵可夫斯基和的那个坑弃了咕咕咕咕咕咕

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辛普森积分法__优雅的乱搞

对于一个函数的积分 ${\int }_l^{r}f(x)dx$ ，如果 $f(x)$ 是不超过三次的，那么 ${\int }_l^{r}f(x)dx=\frac{f(l)+4f(mid)+f(r)}{6}\times (r-l)$ 。

由于大多数情况下的函数是积不出来的，所以求积分就可以直接上辛普森积分。具体就是积某一段区间时，把这段区间当作是三次以内的函数来积，然后比较一下这段区间分成两半来积得到的答案，如果答案差不多就直接返回了，否则就递归。

然后避免函数有长得像坑一样的东西，可以强制精确到一定的值的时候再返回

double Sim(double l,double r){
    double mid=(l+r)/2.0;
	return (f(l)+4.0*f(mid)+f(r))*(r-l)/6.0;
}
double Integral(double l,double r){
    double mid=(l+r)/2.0;
	if(r-l<=limit)
		if(abs(Sim(l,r)-Sim(l,mid)-Sim(mid,r))<eps) 
			return Sim(l,r);
	return Sim(l,mid)+Sim(mid,r);
}

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多项式&生成函数

多项式的板子还挺多的， fft、牛迭(几乎包括了所有基本运算)、 多点求值、插值、拉反。

然后会写板子了就能去切题了（假的

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复读机 【集训队作业2019】

题意：有排成一排的 $n(1\le n\le 10^9)$ 个球，你要把每个球染成k种颜色之一，每种颜色的球的个数都要是d的倍数，问方案数mod 19491001。时限1s。

subtask1：$1\le k\le 500000,d=2$

subtask2：$1\le k\le 1000,d=3$

分析：每种颜色的 EGF 为 ${\sum }_i\frac{x^{id}}{(id)!}$ ，答案就是 $n!})$

当 $d=2$ 时，考虑求 ${\sum }_i\frac{x^{2i}}{(2i)!}$，我们发现 $e^x={\sum }_i\frac{x^i}{i!}$ 消去奇数项就是我们要求的东西，然后由于 $e^{-x}={\sum }_i\frac{(-1{)}^i{x}^i}{i!}$ ，所以 ${\sum }_i\frac{x^{id}}{(id)!}=\frac{e^x+e^{(-x)}}{2}$ 。

考虑求答案，二项式定理展开 $(e^x+e^{-x}{)}^k$ 得到 ${\sum }_{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right)e^{x(2i-k)}$ ，$[x^n]e^{kx}=\frac{k^n}{n!}$ ，那么答案就是 $n!\frac{1}{2^k}{\sum }_{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right)\frac{(2i-k{)}^n}{n!}$

当 $d=3$ 时，代入三次单位根 $w_3$ ，由于 $1+w_3+w_3^2=0$ ，然后对于任意正整数 $k$ 有 ${\sum }_{i=0}^2{w}_3^{ik}=3[3|k]$ 。所以此时 ${\sum }_i\frac{x^{id}}{(id)!}=\frac{e^x+e^{w_{3}x}+e^{w_3^{2}x}}{3}$ 。

$e^x+e^{w_{3}x}+e^{w_3^{2}x}$ 也可以二项式展开，同理得到类似的式子。

小朋友和二叉树

题意：给一个集合S，对每个x∈[1,m]，问有多少个不同的带权二叉树满足其每个点的权值在S里面，且权值和=x，输出方案数mod 998244353。n,m≤100000。

分析：设答案的生成函数为 $f(x)$ ，$g$ 为 $S$ 的普通生成函数，那么有 $f(x)=g{f}^2(x)$ ，解二次方程即可。

DAG

题意：求n个点带标号的有向无环图个数，mod 998244353。$n\le 10^5$ 。

分析：切入点就是枚举出度为0的点数 $j$ 。${\sum }_j\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\right)f[i-j]2^{j(i-j)}$ 就是至少有 $j$ 个点出度为0的方案数。

容斥一下 $f_i={\sum }_{j=1}^i(-1{)}^{j-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})2^{j(i-j)}{f}_{i-j}$ 。然后把它整成多项式，套bluestein变换，$w=\sqrt{2}$
$$\begin{gathered} f_i=\sum _{j=1}^i(-1{)}^{j-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})w^{i^2-(i-j{)}^2-j^2}{f}_{i-j} \\ \frac{f_i}{i!w^{i^2}}=\sum _{j=1}^i\frac{(-1{)}^{j-1}}{j!w^{j^2}}\frac{f_{i-j}}{(i-j)!w^{(i-j{)}^2}} \end{gathered}$$
$F=TF+1，F=\frac{1}{1-T}$ 。

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MSET,PSET

（这是个知识点，之前没见过，但感觉就是一般的组合问题形式化了）

• MSET 大小为 $i$ 的元素有 $a[i]$ 种不同的，无序组合在一起。
  $$\begin{gathered} \sum _i(\frac{1}{1-x^i}{)}^{a_i} \\ =\exp (-\sum _i{a}_i\ln (1-x^i)) \\ =\exp (\sum _i{a}_i\sum _j\frac{x^{ij}}{j}) \end{gathered}$$

• PSET 大小为 $i$ 的元素有 $a[i]$ 个不同的，组合在一起。
  $$\begin{gathered} \sum _i(1+x^i{)}^{a_i} \\ =\exp (\sum _i{a}_i\ln (1+x^i)) \\ =\exp (\sum _i{a}_i\sum _j\frac{x^{ij}(-1{)}^{j-1}}{j}) \end{gathered}$$

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有根无标号「奇树」计数

题意：定义一棵有根树为「奇树」，当且仅当其所有叶子深度都为奇数（根节点深度为 1）。小 P 对奇树十分感兴趣，他想知道有多少棵 n 个奇点（不是 n 个点）的有根无标号奇树（奇点深度为奇数，由上述定义根也是奇点）。你需要对于 n=1…m 分别输出答案。
$m\le 10^5$。

分析：设答案的生成函数是 $F(x)$ ，$F(x)=xM(M(F(x))-1)$。$M()$ 就是 MSET 。牛顿迭代求解。

烷基计数

题意：求儿子数不超过 3 的有根树个数

分析：设答案的生成函数为 $A(x)$，于是有 $A(x)=1+x\frac{A(x{)}^3+3A(x)A(x^2)+2A(x^3)}{6}$ 。牛迭迭代求解。