旅行商问题简析

旅行商问题是一个很经典的图论问题。

不重复的旅行商问题用数学语言叙述如上所示，式中xij表示节点i到节点j，cij则表示节点i到节点j的路径长度；第一个约束保证一个节点只出发一次，第二个约束保证一个节点值到达一次。

解决非对称旅行商问题的常用方法是指派算法。指派算法的实质是匈牙利算法，需要寻找增广路径，做带权二分图的匹配。

算法详解：(32条消息) 分配（指派）问题_指派问题_skycrygg的博客-CSDN博客

实际生活中，面对的旅行商问题大多是可重复的，也就是节点、路径可重复遍历。解决这一类问题的常用方法是floyd算法，该算法是基于贪心算法，时间复杂度较高为O(n3).

for k in range(n):
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if dis[i][k]+dis[k][j]<dis[i][j]:#dis表示为路径矩阵
                dis[i][j]=dis[i][k]+dis[j][k] #找到经过k点时路径更短，接受这个更短的路径长度
                path[i][j]=k #路由矩阵记录路径

当地图足够大时，floyd算法的运算量将十分可怕，所以现代算法更喜欢使用启发式的算法来解决可重复的旅行商问题。

为了方便进一步思考，笔者也给出了一个送货员问题，读者不妨使用上述提到的两个方法尝试解答这个简单的问题：

一个城镇有N个地方，他们是连通的，而且是路径可以往复的，每段路径的长度也是已知的，现在送货员接到了n个单，从规定起点出发必须要经历到n个指定的点，怎样才能使他行进的总路程最短呢?示意图如下，黑点为指定的点，橘点为起点，其他点为普通点。