线性代数之矩阵总汇

一. 矩阵介绍

1. 矩阵的定义

​ 由m × n个数a_ij(i=1，2，...，m；j=1，2，...，m)排成的m行n列的数表成为m行列矩阵，简称m × n矩阵，为了表示是一个整体通常写法总是加一个括弧，并使用大写黑体字符表示它，记作：

$$A = \left(\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \cdot&\cdot&&\cdot\\ \cdot&\cdot&&\cdot\\ \cdot&\cdot&&\cdot\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\ \end{matrix}\right)$$

​ 这m × n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数a_y位于矩阵A的第i行第j列，简称为矩阵A的(i，j)元。而元素是实数的矩阵成为实矩阵，元素是复数的矩阵成为复矩阵

2. 矩阵的分类

• n阶方阵(n阶矩阵)

  行数和列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵，n阶矩阵A记作A_n

• 行矩阵(行向量)

  只有一行的矩阵，称为行矩阵，又称行向量，行矩阵记作：

  $$A = (a_1,a_2,\cdots,a_n)$$

• 列矩阵(列向量)

  只有一列的矩阵，称为列矩阵，又称列向量，列矩阵记作:

  $$B = \left(\begin{matrix} b_1\\ b_2\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ b_n \end{matrix}\right)$$

• 同型矩阵%

  两个矩阵的行数和列数都相等，就称它们是同型矩阵

• 零矩阵

  元素全部都为零的矩阵称为零矩阵，记作O,注意不同型的零矩阵是不同的

• 对角矩阵

  除主对角线的元素之外其余位置元素都为0的矩阵叫对角矩阵，如：

  $$A = \left( \begin{matrix} 1&0&0&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&3&0\\ 0&0&0&4\\ \end{matrix} \right )$$

• 数量矩阵

  主对角线的元素都相等，其余位置元素都为0的矩阵叫数量矩阵，如：

  $$E = \left( \begin{matrix} 2&0&0&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&2&0\\ 0&0&0&2\\ \end{matrix} \right )$$

• 单位矩阵

  主对角线的元素为1，其余位置的元素为0的矩阵叫做单位矩阵,通常单位矩阵使用E来表示，如:

  $$E = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix}$$

数量矩阵和单位矩阵都是对角矩阵的一种特例，因此数量矩阵和单位矩阵也叫对角矩阵。单位矩阵又是数量矩阵的一种特例，所以单位矩阵又可以叫做数量矩阵

• 对称矩阵

  设矩阵A为n阶方阵，满足A^T=A，即

  $$a_{ij}=a_{ji}\ (i,j=1,2,\cdots,n)$$

  那么A成为对称矩阵，简称为对称阵，对称矩阵的特点是它的元素以主对角线为对称轴对应相等

3. 矩阵的应用

1. 示例一：求解多元一次方程组

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\cdots\cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\\ \end{cases}$$

可以提取出如下几个矩阵:

$$A = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} B = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\ \end{pmatrix}$$

$$C = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n \end{pmatrix} D = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\ \end{pmatrix}$$

其中A称为未知数矩阵，B为系数项矩阵，C为常数项矩阵，D为增广矩阵

2.实例二：航线问题

四个城市间的单向航线如图所示，若1表示冲i市到j市有1条单向航线,0表示从i市到j市没有单项航线。

航线可以表示为:

$$A = \begin{pmatrix} 0&1&1&1\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ \end{pmatrix}$$

二. 矩阵的运算

1. 矩阵的加法

设有两个m × n矩阵A=（a_y）和B=（b_y）,则矩阵A与B的和记作A+B，规定为：

$$A+B=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots&a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots&a_{mn}+b_{mn}\\ \end{pmatrix}$$

只有当两个矩阵是同型矩阵的时候，这两个矩阵才能进行加法运算，矩阵还满足下列运算规律（设A,B,C都是 m×n 矩阵）:

(1) A + B = B + A

(2) A + (B + C) = A + B + C

设矩阵**A **= (a_y）则 -A = (-a_y)

A称为矩阵A的负矩阵，显然有:

$$A + (-A) = 0$$

因此矩阵的减法为

$$A-B=A+(-B)$$

2. 矩阵的乘法

2.1 数与矩阵相乘

数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ,规定为

$$\lambda A=A\lambda=\begin{pmatrix} \lambda a_{11}&\lambda a_{12}\cdots&\lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}&\lambda a_{22}\cdots&\lambda a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \lambda a_{m1}&\lambda a_{m2}\cdots&\lambda a_{mn}\\ \end{pmatrix}$$

数乘矩阵满足下列运算规律(设A,B为m×n矩阵,λ、μ为常数):

(1) (λμ)A = λ(μA)

(2)(λ+μ)A=λA+μB

(3)λ(A+B)=λA+λB

矩阵加法与数乘成为矩阵的线性运算

2.2 矩阵与矩阵相乘

设有两个线性变换

$$\begin{eqnarray} &&\begin{cases} y_1 = a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3\\ y_2 = a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3\ \ \ \ \ \ &(1)\\ \end{cases}\\ &&\begin{cases} x_1 = b_{11}t_1+b_{12}t_2\\ x_2 = b_{21}t_1+b_{22}t_2&&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\\ x_3 = b_{31}t_1+b_{32}t_2\\ \end{cases} \end{eqnarray}$$

若想求出从t₁，t₂到y₁，y₂的线性变换，可将(2)代入(1)便得到:

$$\begin{cases} y_1 = (a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31})t_1+(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32})t_2\\ y_2 = (a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31})t_1+(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32})t_2\\ \end{cases}$$

上式可看出先作线性变换(1)在做线性变换(2)的结果,因此把上式线性变换结果叫做线性变换(4)与(5)的乘积,即

$$\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22}\\ b_{31}&b_{32}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32}\\ \end{pmatrix}$$

定义:设A=(a_ij)是一个m×s矩阵,B=(b_ij)是一个s×n的矩阵，那么矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵C=(c_ij),其中

$$\begin{eqnarray} &c_{ij}=a_{1i}b_{j1}+a_{2j}b_{j2}+\cdots+a_{xj}b_{jx}=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}\\ &(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots n) \end{eqnarray}$$

并把次乘积j基座：

$$C = AB$$

按此定义，一个1×s行矩阵与一个s×1列矩阵的乘积是一个1阶方阵，也就是一个数

$$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{is} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{1j}\\ b_{2j}\\ \vdots\\ b_{sj} \end{pmatrix} &&= a_{i1}b_{1i}+a_{i2}b_{2i}+\cdots+a_{is}b_{si}\\ && = \sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}\\ &&=c_{ij}\\ \end{eqnarray}$$

因此矩阵AB=C的(i,j)元,c_ij就是A的第i行与B的第j列的乘积

注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数*时，两个矩阵才能相乘

矩阵的乘法满足如下运算规律

(1)（AB）C = A（BC）

(2) λ（AB）= （λA）B = A（λB）（λ为常数）

(3) A（B+C） = AB + AC

(4) E_mA_m×n = A_m×n，A_m×nE_n=A_m×n

2.3例题:求矩阵AB的乘积

$$A = \begin{pmatrix} 4&-1&2&1\\ 1&1&0&3\\ 0&3&1&4 \end{pmatrix}与 B = \begin{pmatrix} 1&2\\ 0&1\\ 3&0\\ -1&2 \end{pmatrix}$$

解：A是一个3×4矩阵，B是4×2矩阵，A的列数等于B的行数，所以矩阵A与B的乘积是一个3×2矩阵

$$\begin{eqnarray} C &&= AB \\ &&= \begin{pmatrix} 4&-1&2&1\\ 1&1&0&3\\ 0&3&1&4\\ \end{pmatrix}\\ &&=\begin{pmatrix} 4\times1+(-1)\times0+2\times3+1\times(-1)&4\times2+(-1)\times1+2\times0+1\times2\\ 1\times1+1\times0+0\times3+3\times(-1)&1\times2+1\times1+0\times0+3\times2\\ 0\times1+3\times0+1\times3+4\times(-1)&0\times2+3\times1+1\times0+4\times2 \end{pmatrix}\\ &&=\begin{pmatrix} 9&9\\ -2&9\\ -1&11\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$$

3. 矩阵的转置

把矩阵A的行转成同序数的列得到一个新的矩阵，叫做A的转置矩阵,记作A^T

如矩阵

$$A = \begin{pmatrix} 1&2&0\\ 3&-1&1 \end{pmatrix}$$

的转置矩阵为

$$A^T = \begin{pmatrix} 1&3\\ 2&-1\\ 0&1\\ \end{pmatrix}$$

矩阵的转置也是一种运算，满足下述运算规律

（1）（A^T）^T = A

（2）（A+B）^T = A^T + B^T

（3）(λA)^T=λA^T

（4）(AB)^T=B^TA^T

例题

已知:

$$A = \begin{pmatrix} 2&0&-1\\ 1&3&2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1&7&-1\\ 4&2&3\\ 2&0&1 \end{pmatrix}$$

求(AB)^T
解法1

$$AB = \begin{pmatrix} 2&0&-1\\ 1&3&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&7&-1\\ 4&2&3\\ 2&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&14&-3\\ 17&13&10 \end{pmatrix}\\ (AB)^T=\begin{pmatrix} 0&17\\ 14&13\\ -3&10 \end{pmatrix}$$

解法2

$$(AB)^T=B^TA^T =\begin{pmatrix} 1&4&2\\ 7&2&0\\ -1&3&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&1\\ 0&3\\ -1&2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&17\\ 14&13\\ -3&10 \end{pmatrix}$$

4. 方阵的行列式

4.1 行列式

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\ a_{21}x_1+a_{12}x_2=b_2 \end{cases}$$

使用消元法最终得到的结果为;

$$x_1 = \frac{b_1a_{22}-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}， x_2 = \frac{b_2a_{11}-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}，$$

上述的分子，分母都是四个数分两对相乘在相减得到，其中分母a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁是由方程的4个系数确定，把这四个数按它们在方程中的位置，排成二行两列的数表

$$\begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{matrix}$$

表达式a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁成为上面数表所确定的二阶行列式，并记作

$$\left | \begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{matrix} \right |$$

数a_ij称为行列式的元素，简称元，元素a_ij的第一个下表表示行标，表示该元素位于第i行，第二个下表j称为列表，表示该元素位于第j列,a₁₁到a₂₂的实连线称为主对角线，a₂₁到a₂₁的连线称为副对角线，因此二阶行列式的值就是主对角线上的乘积减去副对角线的乘积，需要注意行列式必须是行和列相等

利用行列式求解上述方程

$$D_1 = b_1a_{22}-a_{12}b_{2}=\left | \begin{matrix} b_1&a_{12}\\ b_2&a_{22} \end{matrix} \right |,\ \ \ D_2=a_{11}b_2-b_1a_{21}=\left | \begin{matrix} a_{11}&b_{1}\\ a_{21}&b_2 \end{matrix} \right |\\ D= \left | \begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{matrix} \right |$$

那么最后的结果为;

$$x_1 =\frac {D_1}D=\frac{\left |\begin{matrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{matrix}\right |}{\left |\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right |},\ \ \ \ x2=\frac {D_2}D=\frac{\left |\begin{matrix}a_{11}&b_{1}\\a_{21}&b_{2}\end{matrix}\right |}{\left |\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right |}$$

4.2 三阶行列式

设有如下9个数排成3行3列的数表

$$\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{matrix}$$

记：

$$\left | \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{matrix} \right |\\ = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$$

计算三阶行列式

$$D = \left | \begin{matrix} 1&2&-4\\ -2&2&1\\ -3&4&-2\\ \end{matrix} \right |$$

求解过程为:

$$\begin{eqnarray} D &&= \left | \begin{matrix} 1&2&-4\\ -2&2&1\\ -3&4&-2\\ \end{matrix} \right |\\ &&=1\times2\times(-2)+2\times1\times(-3)+(-4)\times(-2)\times4-\\ &&\ \ \ \ (-4)\times2\times(-3)-2\times(-2)\times(-2)-1\times1\times4\\ &&=-4+(-6)+32-24-8-4=-14 \end{eqnarray}$$

4.3 余子式和代数余子式

​ 在n阶行列式中，把(i,j)元a_ij所在的第i行和第j列划去之后，留下的n-1阶行列式叫做(i,j)元a_ij的余子式，记作M_ij记

$$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$

A_ij叫做(i,j)元a_ij的代数余子式

例如四阶行列式

$$D = \left | \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\ \end{matrix} \right |$$

在(3,2)元a₃₂的余子式和代数余子式分别为：

$$M_{32}=\left | \begin{matrix} a_11&a_13&a_14\\ a_21&a_23&a_24\\ a_41&a_43&a_44 \end{matrix} \right |\\ A_{32} = (-1)^{3+2}M_{32}=-M_{32}$$

4.4 方阵的行列式

定义：有n阶方阵A的元素所构成的横列式（个元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作detA或|A|

注意方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵表示的是一个n²个数拍成的数表，而n阶行列式是这些数按照一定的算法计算得到的一个数

由A确定的|A|的这个原酸满足一下运算规则（设A，B为n阶方正，λ为数）

（1）|A^T| = |A|

（2）|λA| = λⁿ|A|

（3）|AB| = |A||B|

行列式|A|的各个元素的代数余子式A_ij所构成的如下矩阵

$$A^*=\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\\ \end{pmatrix}$$

称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵,并且满足以下公式

$$AA^*=A^*A=|A|E$$

5. 逆矩阵

5.1 逆矩阵的定义，性质和求法

定义对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B使

$$AB =BA = E$$

则矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵

如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是惟一的，若B,C都是A的逆矩阵，择优

$$B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C$$

因此A的逆矩阵是惟一的

A的逆矩记作A^-1，使AA^-1=E，故|A|*|A^-1|=|E|=1,所以|A|$\neq$ 0

定理:若|A|$\neq$0，则矩阵A可逆，且

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$$

其中A^*为矩阵A的伴随矩阵，当|A|=0时，A称为奇异矩阵，否则称非奇异矩阵

A是可逆矩阵的充分必要条件是|A|$\neq$0,即可逆矩阵就是非奇异矩阵

推论：若AB=E(或BA=E)，则B=A^-1

逆矩阵满足下列规律：

(1)若A可逆，则(A^-1)^-1=A

(2)若A可逆，数λ$\neq$0,则λA可逆，且(λA)^-1=$\frac{1}{\lambda}A^{-1}$

(3)若A,B为同阶矩阵且均可逆，则AB也可逆，且

$$(AB)^{-1}=B_{-1}A_{-1}$$

(4)若A可逆，则A^T也可逆，且(A^T)^-1=(A^-1)^T

5.2 求方阵的逆矩阵

$$A= \begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&1\\3&4&3\end{pmatrix}$$

解:

$$|A|=\left |\begin{matrix}1&2&3\\2&2&1\\3&4&3\end{matrix}\right |=2\neq0\\ $$

计算|A|的余子式得:

$$\begin{matrix}M_{11}=2&M_{12}=3&M_13=2\\M_{21}=-6&M_{22}=-6&M_23=-2\\M_{31}=-4&M_{32}=-5&M_33=-2\\\end{matrix}$$

则:A的伴随矩阵为：

$$A^*=\begin{pmatrix}M_{11}&-M_{21}&M_{31}\\M_-{12}&M_{22}&-M_{32}\\M_{13}&-M_{23}&M_{33}\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&6&-4\\-3&-6&5\\2&2&-2\end{pmatrix}$$

所以伴随矩阵为:

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=\begin{pmatrix}1&3&-2\\-\frac32&-3&\frac52\\1&1&-1\end{pmatrix}$$