Codeforces Round 959 sponsored by NEAR (Div. 1 + Div. 2) 题解 (A~D)

赛时想出了D，但是做法写繁了，调了很久没调出来。码力不够、代码写太少导致的。

A

\([{\color{green} ▲ }]\) 签到

令 \(b_{i,j} = (a_{i,j} \bmod nm) + 1\) 即可使 \(b_{i,j} \ne a_{i,j}\)，特判 \(nm=1\) 无解。

B

\([{\color{green} ▲ }]\) 结论

考虑简化操作，可以发现操作两次 \((i-j+1, i)\)，\((i-j, i-1)\)，重复的部分被异或了两次，该操作等价于 \(s_i \rightarrow s_i \oplus s_j(j \le i)\)，为消除后效性，从后往前做，当：

\(s_i=1,t_i=0\) 时，\(s_i\) 需要异或上一个 1。
\(s_i=0,t_i=1\) 时，\(s_i\) 也需要异或上一个 1。

维护一下 \(s_j(j \le i)\) 等于 1 的个数就行了。

C

\([{\color{green} ▲ }]\) DP

\(g\) 的最终值不为零的方案数不好统计，正难则反，考虑统计最终 \(g\) 为零的方案数。

设 \(f_i\) 表示从 \(i\) 开始吃蘑菇使 \(g\) 的最终值为零的方案数， \(nxt_i\) 表示从 \(i\) 开始右边第一个 g 为零的位置，若没有则等于 \(n+1\)，则有转移：

\[f_i=f_{nxt_i + 1}+1 \]

边界 \(f_{n+1}=0\)，则答案就是：

\[\frac{n(n+1)}{2} - \sum _{i=1} ^{n} f_i \]

D

\([{\color{red} \times }]\) 数学

\(\lvert a_u - a_v \rvert\) 能被 \(x\) 整除等价于 \(a_u \equiv a_v \bmod x\)。

看到样例里没有无解的情况，可以猜测问题肯定有解，尝试构造一下 \(n=\{2,3,4\}\) 时的无解数据，发现不存在。

操作顺序对答案没有影响，考虑倒着加边，那么在进行了编号为 \(x\) 的操作后，图中就会有 \(x+1\) 个连通分量，我们我们从每个连通分量中任选一个数字共 \(x+1\) 个数字，而 \(r \bmod x\) 的结果只有 \(x\) 个，根据抽屉原理，一定存在 \(a_u \equiv a_v \bmod x\)。注意连通分量中可以任选数字就行了。