数据结构之败者树
败者树原理
2个子结点比较后的败者放入它们的父结点，而胜者送到它们父结点的父节点去再作比较，这才是败者树。ls[0]放的是最终的胜者。
当n较大的时候采用什么算法呢？首先我们分析上面的算法，当从N中取出一个新的数m的时候，它需要依次和max1，max2，max3……maxn比较，一直找到一个比m小的maxx，用m来替换max x，平均比较次数是n/2。可不可以用更少的比较次数来实现替换呢？最直观的方法是，也就是网上文章比较推崇的堆。堆有以下好处：
1. 它是一个完全二叉树，树的深度是相同节点数的二叉树中最少的，维护效率较高；
2. 它可以通过数组来实现，而且父节点p的数组下标与左右孩子节点l，r的数组下标的关系是s[l] = 2*s[p]+1和s[r] = 2*s[p]+2。在计算机中2*s[p]这样的运算可以用一个左移1位操作来实现，十分高效。再加上数组可以随机存取，效率也很高；
3. 堆的Extract操作，也就是将堆顶元素拿走并重新调整堆的时间复杂度是O(logn)，这里n是堆的大小；
具体到我们的问题，如何具体实现呢？首先开辟一个大小为n的数组区A，从N中读入n个数填入到A中，然后将A维护成一个小顶堆。然后从N中取出下一个数，即第n+1个数m，将m与堆顶A[0]比较，如果m <= A[0]，直接丢弃m。否则应该用m替换A [0]。但此时A的堆特性可能已被破坏，应该重新维护堆：从A[0]开始，将A[0]与左右孩子节点分别比较（特别注意，这里需要比较“两次”才能确定最大 数，在后面我会根据这个来和“败者树”比较），如果A[0]比左右子节点都小，则堆特性能够保证，否则如左（右）节点最大，则将A[0]与左（右）节点交换，并继续维护左（右）子树。依次执行，直至叶子节点，堆中保留的n个数就是N中最大的n个数。这都是堆排序的基本知识，唯一的trick就是维护一个小顶堆，而不是大顶堆。不明白的稍微想一下。维护一次堆的时间复杂度为O（logn），总体的复杂度是O（Nlogn）这样一来，比起上面的O（nN），当n足够大时，堆的效率肯定是要高一些的。当然，直接对N数组建堆，然后提取n次堆顶就能得到结果，而且其复杂度是O（nlogN）,当n较大时这样会高效很多。但是对于online数据就没办法了，比如N不能一次load进内存，甚至是一个流，根本不知道N是多少。
败者树：
有没有别的算法呢？我先来说一说败者树（loser tree）。也许有些人对loser tree不是很了解，其实它是一个比较经典的外部排序方法，也就是有x个已经排序好的文件，将其归并为一个有序序列。
败者树的思想咋一看有些绕，其实是为了减小比较次数。首先简单介绍一下败者树：
败者树的叶子节点是数据节点，然后两两分组（如果节点总数不是2的幂，可以用类似完全树的结构构成树），内部节点用来记录左右子树的优胜者中的“败者”（注意记录的是输的那一方），而优胜者则往上传递继续比较，直到根节点。如果我们的优胜者是两个数中较小的数，则根节点记录的是最后一次比较中的“败者”，也就是所有叶子节点中第二小的那个数，而最小的那个数记录在一个独立的变量中。这里要注意，内部节点不但要记录败者的数值，还要记录对应的叶子节点。如果是用链表构成的树，则内部节点需要有指针指向叶子节点。这里可以有一个trick，就是内部节点只记录“败者”对应的叶子节点，具体的数值可以在需要的时候间接访问（这一方法在用数组来实现败者树时十分有用，后面我会讲到）。关键的来了，当把最小值输出后，最小值所对应的叶子节点需要更新为一个新数（即从相应归并段中读取下一个记录来替换此叶子节点中数值，或者改为无穷大，在文件归并的时候表示文件已读完）。接下来维护败者树，从更新的叶子节点往上，依次与内部节点比较，将“败者”更新，胜者往上继续比较。由于更新节点占用的是之前的最小值的叶子节点，它往上一直到根节点的路径与之前的最小值的路径是完全相同的。内部节点记录的“败者”虽然称为“败者”，但却是其所在子树中最小的数。也就是说，只要与“败者”比较得到的胜者，就是该子树中最小的那个数（这里讲得有点绕了，看不明白的还是找本书看吧，对照着图比较容易理解）。
注：也可以直接对N构建败者树，但是败者树用数组实现时不能像堆一样进行增量维护，当叶子节点的个数变动时需要完全重新构建整棵树。为了方便比较堆和败者树的性能，后面的分析都是对n个数构建的堆和败者树来分析的。
总而言之，败者树在进行维护的时候，比较次数是logn+1。与堆不同的是，败者树是从下往上维护，每上一层，只需要和败者节点比较“一次”即可。而堆在维护的时候是从上往下，每下一层，需要和左右子节点都比较，需要比较两次。从这个角度，败者树比堆更优一些。但是，请注意但是，败者树每一次维护必定需要从叶子节点一直走到根节点，不可能中间停止；而堆维护时，“有可能”会在中间的某个层停止，不需要继续往下。这样一来，虽然每一层败者树需要的比较次数比 堆少一倍，但是走的层数堆可能会比败者树少。具体少多少，从平均意义上到底哪一个的效率会更好一些？那我就不知道了，这个分析起来有点麻烦。感兴趣的人可以尝试一下，讨论讨论。但是至少说明了，也许堆并非是最优的。
具体到我们的问题。类似的方法，先构建一棵有n个叶子节点的败者树，胜出者w是n个中最小的那一个。从N中读入一个新的数m后，和w比较，如果比w小，直接丢弃，否则用m替换w所在叶子节点的值，然后维护该败者树。依次执行，直到遍历完N，败者树中保留的n个数就是N中最大的n个数。时间复杂度也是O（Nlogn）。
前面有提到，堆的优点中包括“完全树”，“用数组实现”，以及“父节点与左右子节点之间的下标的特殊关系”。其实败者树也可以用数组来实现。原理和堆的数组实现是相同的，唯一的区别是堆的所有节点都是数据节点，而败者树只有叶子节点是数据节点。所以在空间复杂度上，败者树所需的空间大小是堆的一倍（完全树的内部节点的个数是叶子节点个数减一）。
