洛谷-做题记录
23/3/14
由 P8774[蓝桥杯 2022 省 A] 爬树的甲壳虫 而来：
- P1226【模板】快速幂||取余运算 回顾，之前错因
%lld写成%d - P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程，拓展欧几里得算法，有理数取余
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- P2613 【模板】有理数取余，同样是拓展欧几里得算法，或者说进一步裴蜀定理
- 题解说的不错，但感觉从
bx ≡ a (mod p)到bx ≡ 1 (mod p)乃至有解情况分析的说法不太严谨。
应该是：
\[ \mbox{要求:} \ bx \equiv a \pmod p \iff bx + py = a,\ \ x,y \in N \\ \mbox{根据裴蜀定理:}\ bx + py = a \ \mbox{有整数解} \iff gcd(b,p) \mid a \\ \because p\ \mbox{为质数} \therefore \left\{ \begin{array}{} ①若 p \mid b\ ,\ 则 \left\{ \begin{array}{} 若 p \mid a\ ,恒成立，无数解，不过此情况已被题目ban掉了 \\ 若 p \nmid a\ ,则 gcd(b,p) = p \nmid a\ ,无解 \end{array} \right. \\ ②若 p \nmid b\ ,\ 则\ gcd(b,p) = 1,\ 则必然有 gcd(b,p) = 1 \mid a\ ,有解 \\ 此时根据拓欧/裴蜀可知， bx + py = 1 = gcd(b,p) 有解，求解后ax即为所求原始解 \end{array} \right. \]所以对于有解的情况，bx ≡ a (mod p)的解均可化到bx ≡ 1 (mod p)的解- 超大数字a和b，快读+随时取模解决。因为
bx ≡ a (mod p)可化为bx % p ≡ a % p (mod p)
- 题解说的不错，但感觉从
拓展欧几里得算法：计算 ax + by = gcd(a,b) 某可行解的方法，同时也算是证明了该等式x,y必定有整数解
裴蜀定理： ax + by = c有整数解 \(\iff\) c可被gcd(a,b)整除
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P8774[蓝桥杯 2022 省 A] 爬树的甲壳虫 最终完成，概率部分经典逆向递归（dp[i]表示“从i到n所用的期望时间”）；计算部分每一步均使用有理数取余，方法是之前的拓展欧几里得，似乎还应该去试试费马小定理。
费马小定理：$a^{p-1} \equiv 1 \pmod p \ $，p为质数
