字符串哈希与 AC 自动机
字符串哈希
众所周知，字符串比较是 \(O(|S|)\) 的。这样就很难接受，所以需要字符串哈希。
哈希的基本思想即构造某个易于计算的函数，使得相同的两个状态函数值相同，不同的两个状态函数值大概率不同。
不妨将字符串视作模质数 \(p\) 意义下 \(b\) 进制数，字符集的每一个字符向 \([1,b-1]\) 做映射：\(x\rightarrow a_x\)（需满足 \(b\) 大于字符集），那么字符串 \(s\) 的哈希值可以表达为 \(f_s=\sum\limits_{i=0}^{|s|-1}b^i\times a_{s_i}\mod p\)。将 \(p\) 称作模数，\(b\) 称作底数。这是最常见的字符串哈希的实现方式。
将不同的两个串哈希值相同的情况称作哈希冲突，减小这样的概率的方法一般有两种：
1.对字符集做随机映射而非有序映射。
2.使用多组不同的底数和模数做哈希。认为两个串相同当且仅当在每一组下面哈希值都相同。
给定串 \(s\)，如何快速求出其任意一子串的哈希值。
预处理串 \(s\) 的每一个前缀的哈希值，记作 \(h\)，有 \(h_i=h_{i-1}+b^i\times a_{s_i}\mod p\)。
要查询子串 \([l,r]\)，那么：
\(f_{[l,r]}=\sum\limits_{i=l}^rb^{i-l}\times a_{s_i}\)
\(=\frac{1}{b^l}\sum\limits_{i=l}^rb^{i}\times a_{s_i}=\frac{1}{b^l}(f_r-f_{l-1})\)
预处理 \(b\) 的逆元及其乘方，就可以 \(O(1)\) 知晓一个子串的哈希值。
字符串哈希的应用
1.判断两个字符串是否相等：直接看哈希值就好。
2.字符串匹配：求出文本串每个长度为模式串长度的子串的哈希。
3.字符串比较/最长公共前缀：二分并通过哈希判断一个前缀是某相同，如果要比较字符串大小看下一位就好。
4.最长公共子串：二分长度，判断两个串这个长度的子串哈希值是否有交集。
5.字符串是否回文：正着做一遍哈希和反着做一遍哈希值相同。
例子很多，但是似乎没什么很有意思的例题。
AC自动机
kmp 自己学去，讲了 AC自动机想必 kmp 很好懂，真懂不了我也不是没见过有人考场上不会 kmp 去写单串 AC自动机。
问题一般形如给定若干模式串，要对这些所有的模式串做匹配。
前置知识是 trie 树，我们先把所有的模式串拉出来建一个 trie 树。让文本串在 trie 树上做匹配，对于一个状态，即 trie 树上的一个结点，代表可以匹配到这个节点代表的字符串的子串。
现在考虑如何实现这个匹配。如果当前位仍有字符与之匹配，让指针向这个方向移动即可。现在考虑失配的情况。
引入 fail 指针，trie 树上的每一个节点 \(x\)，\(fail_x\) 的意义是如果在 \(x\) 这个位置失配，不得不回退到的状态。
例如两个字符串 \(\text{abcd}，\text{bcd}\) 在 \(\text{abcd}\) 的最后位置失配，应当回到 \(\text{bcd} 的最后\) 不难发现这里 \(fail\) 的意义与 kmp 里 \(jump\) 的定义类似。因此说 kmp 和 AC自动机本质相同，不过后者可以处理多串问题。
到现在只是把模式串塞进了 trie，实际上并未建立出一个自动机。如果我们现在已经处理出了 \(fail\)，考虑一个串 \(T\) 的匹配：
1.未失配：\(x\rightarrow s_{x,T_i}\)
2.失配：先 \(x\rightarrow fail_x\)，然后 \(x\rightarrow s_{x,T_i}\)，如果仍失配继续做。
保留 trie 上的祖先关系，同时对于一个点 \(x\)，如不存在 \(s_{x,i}\)，向 \(s_{fail_x,i}\) 递归地连边，这是一个自动机。
考虑这个东西地构建。使用队列来实现，类似拓扑，队列里是即将处理的节点。那么：
1.存在 \(s_{x,i}\)，那么 \(fail_{s_{x,i}}=s_{fail_x,i}\)，同时将 \(s_{x,i}\) 加入队列。
2.否则，连边 \(x\rightarrow s_{fail_x,i}\)。
至此，我们建出了这样的一个自动机结构，匹配一个字符串只要在上面跑就好了，一个状态满足：一直向上跳 fail，可以到达所有能被它匹配的状态。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
int n, t, s[1000005][26], o[1000005], f[1000005];
inline void ins(std::string &st){
int x = 0; for(auto c:st){
if(!s[x][c-'a']) s[x][c-'a'] = ++t;
x = s[x][c-'a'];
} o[x]++;
}
inline void gf(){
std::queue<int> q;
for(int i = 0; i < 26; i++)
if(s[0][i]) q.push(s[0][i]);
while(q.size()){
auto x = q.front(); q.pop();
for(int i = 0; i < 26; i++)
if(s[x][i]) f[s[x][i]] = s[f[x]][i], q.push(s[x][i]);
else s[x][i] = s[f[x]][i];
}
}
inline int fd(std::string &st){
int x = 0, r = 0;
for(auto c:st){
x = s[x][c-'a'];
for(int p = x; p && ~o[p]; p = f[p])
r += o[p], o[p] = -1;
} return r;
}
int main(){
std::cin >> n; std::string s;
for(int i = 1; i <= n; i++)
std::cin >> s, ins(s);
gf(); std::cin >> s;
std::cout << fd(s);
}
发现在这里的每一次匹配都要暴力地向上跳 fail，这样最劣可以被卡成 \(O(nm)\)，我们需要一个更简洁的结构。
对于每一个结点，连边 \(fail_x\rightarrow x\)，最终会形成一个树结构，称为 fail 树。一个结点可以被它所有的子节点匹配，一个节点可以匹配他所有的祖先。
例题：【模板】AC自动机
给定若干模式串和一个文本串，求出每个模式串出现的次数。
建出 fail 树，在匹配时对到的每一个节点加一。一个点被匹配的次数是他的子树和。
注意 AC自动机的构建是离线的，似乎不能支持快速修改。
模板题：P3121
在匹配过程中记录中间状态即可。
模板题：P3966
【模板】AC自动机。不知道出题人是不是没学过语文。
fail 树上 dp：CF1575H
建出 b 的 kmp自动机/AC自动机，设 \(f_{i,j,k}\) 为匹配到 a 串的 \(i\)，在自动机上的 \(j\) 位置，已经匹配的 \(b\) 的个数。枚举下一位是什么转移即可。
fail 树上 dp：P3041
设 \(f_{i,x}\) 为走了 \(i\) 步，在树上结点 \(x\) 的最多组合技数。预处理一个节点 \(x\) 可以匹配多少次模式串 \(g_x\)，那么 \(f_{i+1,s_{x,o}}\leftarrow f_{i,x}+g_{s_{x,o}}\)。
fail 树上 dp：P3311
设 \(f_{i,j,0/1}\) 为填到第 \(i\) 位，树上节点为 \(j\)，前面的数位是否达到上界，枚举下一位填什么转移即可。
fail 树上 dp：P4052
先容斥。计算不包含任意模式串的方案数。然后同 P4052。
发现 AC自动机用到的最多的性质是 fail 树的结构，毕竟他是一棵树。所以可以结合很多东西，最主要是数据结构。
例题：CF1437G
问题即查询 fail 树上到根的一条链上的最大值。树剖即可。
例题：CF710F
注意到 AC自动机是离线构建的，而这题强制在线。所以需要根号重构。
例题：P7852
狗屎题。每次查询一个区间，又修改一个区间的权值。不难想到每根号个字符串建一个自动机。以上的都可以简单实现整块和散块修改。
例题：CF590E
将互相包含的串连有向边，即这个图（实际为 DAG）的最大独立集。用 AC自动机来实现连边即可。
例题：CF1483F
这是个好题。
枚举长串，取每个后缀最长的不是原串且是一个单词的前缀，这部分可以预处理后直接在 AC自动机上匹配。答案一定在这些串的集合里。
考虑什么样的字符串是合法的。挨个判断每个串是否被别的串覆盖是困难的。这个东西等价于这个串在长串的出现次数等于不被覆盖的次数。前者直接建出 ACAM 后树状数组即可。
对于后者：称后缀 \(p\) 的前缀为 \(t_p\)。对于所有的最长的串 \([p-|t_p|+1,p]\)。从后往前枚举，维护变量 \(last\)。若 \(p-|t_p|+1<last\)，那么 \(t_p\) 不被覆盖地出现过，并让 \(last\leftarrow p-|t_p|+1\)。
我真的没做过什么字符串题。所以讲的比较笼统。多的题也推荐不来，自己上网搜题单吧。
