区间dp

对于给出的区间 l r ,f[l][r]记录其最值

那么 f[l][r]=f[l][k]+f[k+1][r]+f[k][k];

为左半部分+右半部分+切k这一段所带来的收益

例题 codevs1048石子归并

//http://codevs.cn/problem/1048/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 205
#define inf 9999999
using namespace std;
int f[N][N],sum[N],n,w[N];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%d",&w[i]);sum[i]=sum[i-1]+w[i];
	}
	for(int j=2;j<=n;j++){
		for(int i=j-1;i>=1;i--){ 
            f[i][j]=inf;
			for(int k=i;k<j;k++)
			 	f[i][j]=min(f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1],f[i][j]);
		}
	}
	printf("%d",f[1][n]);
	return 0;
}

vijos1347 乘积最大

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
ll f[50][10];char s[50];
ll getsum(int l,int r){
	ll a=0;
	for(int i=l;i<=r;i++)
		a=a*10+s[i]-'0';
	return a;
}
int main(){
	int n,t;
	scanf("%d%d",&n,&t);
	scanf("%s",s+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i][0]=getsum(1,i);
	}
	for(int i=2;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=t;j++) {
			for(int k=1;k<=i-1;k++){
				f[i][j]=max(f[i][j],f[k][j-1]*getsum(k+1,i));
			}
		}
	}
	printf("%lld",f[n][t]);
	return 0;	
}

noip2006能量项链

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 202
using namespace std;
int f[N][N];int s[N],n,a[N],mx;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&s[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)//变成 环 
		s[i+n]=s[i];
	
	for(int len=2;len<=n;len++){
		for(int i=1;i+len-1<=2*n;i++){
			int j=i+len-1;
			for(int k=i;k<j;k++)
				f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+s[i]*s[k+1]*s[j+1]);//加上合并左右两部分的能量为 s[i]*s[k+1]*s[j+1]
			mx=max(f[i][i+n-1],mx); 
		}
	}
	printf("%d",mx);
	return 0;
}

ps 在石子归并中sum数组算前缀和

但普通的查询连续区间最大和的时间时O（n^2）线段树和树状数组都是O(nlogn)

有O(n)的优化程序

//前缀和思想 但是时间复杂度从O(n^2)降到了O(n) 
//对于确定的j i到j的连续和=sum[j]-sum[i-1] 其实就是使sum[i-1]最小 所以对于当前状态 维护最小的sum[i-1]就行了 
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 10000
#define inf 2147483647
using namespace std;
int a[N],sum[N],mn,mx;
int main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	}
	sum[0]=inf;mn=0;	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(sum[mn]>sum[i-1]) mn=i-1;
		mx=max(mx,sum[i]-sum[mn]);
	}
	printf("%d",mx);
}