珂朵莉树学习笔记

今天学了这种抽象的数据结构，发一篇学习笔记（其实是题解）

先上一道题：Physical Education Lessons

题意

给定一个一开始都是 $1$，长度为 $n$ 的序列，有 $q$ 次操作，每次可能是区间抹 $0$ 或区间抹 $1$，求最后序列有多少个 $1$

思路

这题正解是动态开点线段树，歪解就是珂朵莉树

其实珂朵莉树就是和分块、莫队一样的优雅的暴力

虽然这题的 $n$ 很大，但是 $q$ 只达到了 ${10}^5$ 级别。根据类似离散化的思路，我们可以发现其实这个序列里面有很多 $1$ 或 $0$ 的连续段

所以我们开一个数据结构维护每一个连续的段，而 set 因为有自动排序的特性成为了首选

具体来说，每个段都有三个属性 $l,r,val$。$l,r$ 表示区间的左右端点，$val$ 表示这个连续段里每个数的值。一开始数列里面都是 $1$，这一段就可以表示成 $1,n,1$。我们假设 $n=1000$，那么整个序列长这样：

区间修改成一个数的操作（推平操作）也有三个属性，任然是 $l,r,val$。$l,r$ 表示修改的区间，$val$ 表示要改成的值。由于推平操作会把 $l$ 到 $r$ 的所有数字都改成一样的，所以我们先把 $l$ 和 $r$ 切开，在把中间合并成一个属性为 $l,r,val$ 的连续段。比如第一次操作是 $200,500,0$，那么这次操作完后的序列应该长这样：

注意：切完之后的两个相邻的连续段之间是不重叠的，这一点很重要

再操作 $600,800,0$ 后序列就长这样（我只标每个段的 $l$ 了，上一个段的 $r$ 就是这个段的 $l-1$）：

（可能框框长度的比例有点不太对，能理解就行）

再操作 $100,550,1$ 后序列长这样：

此时虽然第 $1,2,3$ 段都是 $1$，但是它们没有合并，因为每次推平操作只把推平范围内的段全部合并，但此次操作两边切的并不会自己合并（当然你也可以判断然后合并）

推平操作的代码十分简单（ans 维护 $1$ 的数量）：

void update(int l,int r,int val)
{
	auto itr=split(r+1);
	auto itl=split(l);
	for(auto it=itl;it!=itr;it++)
	{
		ans-=it->val*(it->r-it->l+1);
	}
	s.erase(itl,itr);
	s.insert(node(l,r,val));
	ans+=val*(r-l+1);
}

其中 split(pos) 函数就是切分的函数，每次切分会把 $pos$ 到 $pos-1$ 这一段切开并返回切完了之后右边的那一段的迭代器

split 函数先找到 $pos$ 位置处于哪个段中，把这一段删除，再把 $[l,pos-1]$ 和 $[pos,r]$ 加入就可以了

实现仍然很简单

set<node>::iterator split(int pos)
{
	auto it=s.lower_bound(pos);
	if(it!=s.end() && it->l==pos)
	{
		return it;
	}
	it--;
	int l=it->l;
	int r=it->r;
	bool val=it->val;
	s.erase(it);
	s.insert(node(l,pos-1,val));
	return s.insert(node(pos,r,val)).first;
}

update 第 9 行解释：set 的 erase 有一个用法是 erase(const_iterator __first, const_iterator __last)，就是左闭右开删除一个区间内的元素。

split 第 14 行解释：set 的 insert 操作有返回值：一个 pair。这个 pair 的 first 存这个元素的迭代器，second 存此次操作是否成功。

最后每次操作完输出一下 ans 就做完了。

代码

#include <iostream>
#include <set>
using namespace std;

struct node
{
	int l,r;
	mutable bool val;
	node(int ll,int rr=-1,bool vall=false)
	{
		l=ll;
		r=rr;
		val=vall;
	}
	bool operator<(const node b)const
	{
		return l<b.l;
	}
};

int n,q;
set<node> s;
int ans;

set<node>::iterator split(int pos)
{
	auto it=s.lower_bound(pos);
	if(it!=s.end() && it->l==pos)
	{
		return it;
	}
	it--;
	int l=it->l;
	int r=it->r;
	bool val=it->val;
	s.erase(it);
	s.insert(node(l,pos-1,val));
	return s.insert(node(pos,r,val)).first;
}

void update(int l,int r,int val)
{
	auto itr=split(r+1);
	auto itl=split(l);
	for(auto it=itl;it!=itr;it++)
	{
		ans-=it->val*(it->r-it->l+1);
	}
	s.erase(itl,itr);
	s.insert(node(l,r,val));
	ans+=val*(r-l+1);
}

int main()
{
	cin>>n>>q;
	ans=n;
	s.insert(node(1,n,true));
	for(int i=1;i<=q;i++)
	{
		int l,r,k;
		cin>>l>>r>>k;
		if(k==1)
		{
			update(l,r,false);
		}
		else
		{
			update(l,r,true);
		}
		cout<<s.size()<<endl;
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}

习题

CF817F MEX Queries（多一种反转操作，暴力查询）

P2572 [SCOI2010] 序列操作（珂朵莉树会被卡掉，不过可以当练习，多了查询连续 $1$ 的数量）

CF896C Willem, Chtholly and Seniorious（珂朵莉树的爸爸，操作都是暴力）

总结

珂朵莉树的优点就是大部分操作都可以暴力（很容易想），而且随机数据可以吊打线段树，缺点就是非随机数据容易被卡掉

我永远喜欢珂朵莉（逃