Games101-Cp4-Geometry

几何表示方法

• 隐式表达
  对应通过隐函数表示点的相对位置，而不是空间的具体位置。具体有：代数公式、水平集、分形/自相似（fractals)、CSG（constructive solid geometry）：通过简单几何体的布尔运算获得复杂的几何体、距离函数：指的是到几何体点的最小距离，当两个几何体的点近，通过融合距离函数，生成新的几何体。
  优点：易于确定点是否处于面上、体的内部或者外部，直接通过代入就可以判断。
  坏处：对于一些复杂几何难以表示。
• 显式表示
  将所有点的空间表示出来或者通过参数映射。点云、几何面。

曲线

• 贝塞尔曲线
  这里介绍的是四个控制点的贝塞尔曲线。

\[b^n(t) = b^n_0 (t) = \sum_{j=0}^n b_j B_j^n(t) \\ B^n(t)=\sum_n^i t^i (1-t)^{n-i} \]

对应贝塞尔曲线的性质有 1）\(b(0)=b_0\) $ b(1)=b_3$. 2)曲线上的点被对应的得出的线相切。 3）仿射变换，对控制点做仿射变换与对曲线上的点做仿射变换一个效果。 4）凸包，曲线会在控制点的凸包内。

• 逐段贝塞尔

• Splines 样线

• B-Splines

曲面

贝塞尔曲面

网格增量

网格增量实际上就是增加Mesh的点数以及三角形，在管线中对应着曲面细分阶段。

• Loop细分
  主要分为两步：1.增加三角形 2.调整位置，使曲面光滑。Loop细分将一个三角形分成四个，并且根据权重重新分配新丁点位的位置。对应新顶点的位置由上下两个三角形四个顶点的位置确定，对应\(A,B\)为水平顶点，\(C,D为上下顶点\)：

\[E = \dfrac{3}{8}(A+B) + \dfrac{1}{8}(C+D) \\ (1-n\cdot u)\cdot 原顶点坐标 + u \cdot 相邻顶点坐标之和 \\ n为顶点的度 \]

• Catmull-Clark细分
  这是更普通的情况，不止用于三角面。对应取每条边的中点进行一次细化，细化后会在非四边形面中取得新的奇异点，但全部的非四边形面会消失。

曲面细减

• 边坍缩
• 二次误差度量
  二次误差确定新的顶点应该是最小化面积距离的总和（\(L2\)距离）

这里对应着作业四，就是贝塞尔曲线，就不拓展讲通过递归的方式就能得到对应的结果。
几何这里很多内容games102有对应的内容。看后面工作有没有用到再根据具体实现。感谢你看到这里，Cheers！