最近为了求职重新开始把图形学相关的内容重新系统的学习，先把Games101的内容入门，然后把虎书相关的内容补充。
矩阵变换可以对不同坐标系之间进行转换，在这个过程中，主要有MVP三大变换，即模型变换、视口变换、投影变换。即从本地坐标系转换到世界坐标系、世界坐标系转换到观察坐标系、相机的不同投射方式。
矩阵变换-模型变换Modeling
模型变换是最简单基础的变化，把物体所在的本地坐标系转换到世界坐标系，主要包括对物体进行大小、旋转、平移变换。都以矩阵形式表示。
\[\left[
\begin{matrix}
x' \\
y'
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
s & 0 \\
0 & s
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}
\right]
\]
等比例缩放
\[\left[
\begin{matrix}
x' \\
y'
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
s_{x} & 0 \\
0 & s_{y}
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}
\right]
\]
不均匀缩放
\[\left[
\begin{matrix}
x' \\
y'
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}
\right]
\]
反射/对称
\[\left[
\begin{matrix}
x' \\
y'
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
1 & a \\
0 & 1
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}
\right]
\]
切变
\[\left[
\begin{matrix}
x' \\
y'
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
cos\theta & -sin\theta \\
sin\theta & cos\theta
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}
\right]
\]
旋转矩阵 通过特殊点即可推导
旋转矩阵同时是正交矩阵，即\(R_\theta^{T}=R_\theta^{-1}\).
\[R_{-\theta}
=
\left[
\begin{matrix}
cos\theta & sin\theta \\
-sin\theta & cos\theta
\end{matrix}
\right]
=R_\theta^{T}
=R_\theta^{-1}
\]
上面两种变换在二维矩阵中即可完成，并且是线性变换。但平移变换不是线性变换，而是仿射变换(Affine Transform),仿射映射是线性映射和平移变换之和。
\[\left[
\begin{matrix}
x' \\
y'
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}
\right]
+
\left[
\begin{matrix}
t_x \\
t_y
\end{matrix}
\right]
\]
平移
但我们希望在一个矩阵内同时表示线性几何变换和平移变换。于是引入一种统一表达方式——齐次坐标，增加一个维度，这样有利于表达仿射变换的表示。并且只有仿射变换的第三行为\((0, 0, 1)\).
2D点的表达方式是\((x, y, 1)^{T}\)，增加的维度不为0取常数时为点，通常为1或w。2D向量的表达方式\((x, y, 0)^{T}\)，增加的维度为0时表示为向量。因为向量具有平移不变性，即\((x, y, 0)^{T}=R(x, y, 0)^{T}\).并且满足v+v=v,p-p=v,p+v=p,p+p=p(ps:两点的中点，\((x, y, w)^{T}=(x/w, y/w, 1)^{T}\))。
\[\left[
\begin{matrix}
x' \\
y' \\
1
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & t_x \\
0 & 1 & t_y \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
x \\
y \\
1
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
x + t_x \\
y + t_y \\
1
\end{matrix}
\right]
\]
平移
以此类推我们需要表示三维点和三维向量的时候，需要引入齐次坐标增加到四维。
矩阵变换-视口变换Viewing
定义一个相机由三大部分组成 1.相机位置pos \(e\) 2.相机朝向方向\(\hat{g}\) 3.相机上方向\(\hat{t}\)
当相机与目标之间的相对位置不变时，所投影得到的图像仍然一致。于是假设相机在原点、朝向-Z轴方向和相机上方向为Y轴。为了将相机移到原点对应的视口矩阵，需要对相机先平移后旋转\(M_{view}=R_{view}T_{view}\)。其中相机的旋转矩阵需要从矩阵的逆进行推导，我们能从相机的定义得到相机初始朝向的三个轴\(((\hat{g}\times\hat{t}),\hat{t}, -\hat{g})\)，我们需要把相机移动到原点，又因旋转矩阵为正交矩阵。则通过转置便可以得到旋转矩阵。
\[R_{view}^{-1}=
\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & x_e\\
0 & 1 & 0 & y_e\\
0 & 0 & 1 & z_e\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right]
\]
\[R_{view}^{-1}=
\left[
\begin{matrix}
x_{\hat{g}\times\hat{t}} & x_{\hat{t}} & x_{-\hat{g}} & 0\\
y_{\hat{g}\times\hat{t}} & y_{\hat{t}} & y_{-\hat{g}} & 0\\
z_{\hat{g}\times\hat{t}} & z_{\hat{t}} & z_{-\hat{g}} & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right]
\]
\[R_{view}=
\left[
\begin{matrix}
x_{\hat{g}\times\hat{t}} & y_{\hat{g}\times\hat{t}} & z_{\hat{g}\times\hat{t}} & 0\\
x_{\hat{t}} & y_{\hat{t}} & z_{\hat{t}} & 0\\
x_{-\hat{g}} & y_{-\hat{g}} & z_{-\hat{g}} & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right]
\]
矩阵变换-投影变换Projection
投影变换将观察坐标系的点投影到图像上。
正交投影Orthographic Projection
正交投影就是将一个立方体\([l, r]\times[b, t]\times[f, n]\)进行见平移后缩放映射到一个规范正方体Canonical\([-1, 1]^3\).
\[M_{ortho}=
\left[
\begin{matrix}
\frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0\\
0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0\\
0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2}\\
0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2}\\
0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2}\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right]
\]
透视投影Perspective Projection
透视投影与正交投影的不同之处在于原先平行的视线不再平行，符合近大远小的特征。透视矩阵一般分成两步1.将透视投影挤压到正交投影的形式\(M_{Perp->Ortho}\)，其中\(n, f\)不变 2.再进行正交投影的步骤\(M_{Ortho}\).则对应透视投影的矩阵为\(M_{Perp}=M_{Ortho}M_{Perp->Ortho}\).
由上图可以推导除第三行对应的投影矩阵
\[M_{Perp->Ortho}=
\left[
\begin{matrix}
n & 0 & 0 & 0\\
0 & n & 0 & 0\\
? & ? & ? & ?\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right]
\]
对应剩下z轴的推导，我们可以通过透视投影的原理得到两个结论1.在近平面所有点的z值不变。2.远平面上的点z值也不变。又因z值与x、y值无关，我们假设矩阵第三行\(M_{第三行}=[0 & 0 & A & B]\).
\[M_{Perp->Ortho}
\left[
\begin{matrix}
x \\ y \\ n \\ 1
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
x \\ y \\ n \\ 1
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
nx \\ ny \\ n^2 \\ n
\end{matrix}
\right]
,
\left[
\begin{matrix}
0 & 0 & A & B
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
x \\ y \\ n \\ 1
\end{matrix}
\right]
=n^2
\]
近平面推导
\[M_{Perp->Ortho}
\left[
\begin{matrix}
0 \\ 0 \\ f \\ 1
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
0 \\ 0 \\ f^2 \\ f
\end{matrix}
\right]
,
\left[
\begin{matrix}
0 & 0 & A & B
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
0 \\ 0 \\ f \\ 1
\end{matrix}
\right]
=f^2
\]
远平面推导：取$(0, 0, f, 1)$
综上，透视投影转正交投影对应的矩阵\(M_{Perp->Ortho}\)如下.
\[M_{Perp->Ortho}=
\left[
\begin{matrix}
n & 0 & 0 & 0 \\
0 & n & 0 & 0 \\
0 & 0 & n+f & -nf \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{matrix}
\right]
\]
最后对应的作业1可能涉及到罗德里格斯公式，就暂时不展开来分析，后续应该在虎书中会提到再补充。
第一节的内容就大致是这些，感谢看到这里，Cheers！
