Games101-Cp1-Transformation

最近为了求职重新开始把图形学相关的内容重新系统的学习，先把Games101的内容入门，然后把虎书相关的内容补充。

Transformation

矩阵变换可以对不同坐标系之间进行转换，在这个过程中，主要有MVP三大变换，即模型变换、视口变换、投影变换。即从本地坐标系转换到世界坐标系、世界坐标系转换到观察坐标系、相机的不同投射方式。

矩阵变换-模型变换Modeling

模型变换是最简单基础的变化，把物体所在的本地坐标系转换到世界坐标系，主要包括对物体进行大小、旋转、平移变换。都以矩阵形式表示。

大小变换Scale

[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} s & 0 \\ 0 & s \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]

$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} s & 0 \\ 0 & s \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right]$

等比例缩放

[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} s_{x} & 0 \\ 0 & s_{y} \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]

$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} s_{x} & 0 \\ 0 & s_{y} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right]$

不均匀缩放

[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]

$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right]$

反射/对称

[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]

$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right]$

切变

旋转变换Rotation

[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} c o s θ & - s i n θ \\ s i n θ & c o s θ \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]

$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right]$

旋转矩阵通过特殊点即可推导

旋转矩阵同时是正交矩阵，即 $R_\theta^{T}=R_\theta^{-1}$ .

R_{- θ} = [\begin{matrix} c o s θ & s i n θ \\ - s i n θ & c o s θ \end{matrix}] = R_{θ}^{T} = R_{θ}^{- 1}

$R_{-\theta} = \left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] =R_\theta^{T} =R_\theta^{-1}$

平移变换Translate

上面两种变换在二维矩阵中即可完成，并且是线性变换。但平移变换不是线性变换，而是仿射变换(Affine Transform),仿射映射是线性映射和平移变换之和。

[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] + [\begin{matrix} t_{x} \\ t_{y} \end{matrix}]

$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} t_x \\ t_y \end{matrix} \right]$

平移

但我们希望在一个矩阵内同时表示线性几何变换和平移变换。于是引入一种统一表达方式——齐次坐标，增加一个维度，这样有利于表达仿射变换的表示。并且只有仿射变换的第三行为 $(0, 0, 1)$ .
2D点的表达方式是 $(x, y, 1)^{T}$ ，增加的维度不为0取常数时为点，通常为1或w。2D向量的表达方式 $(x, y, 0)^{T}$ ，增加的维度为0时表示为向量。因为向量具有平移不变性，即 $(x, y, 0)^{T}=R(x, y, 0)^{T}$ .并且满足v+v=v,p-p=v,p+v=p,p+p=p(ps:两点的中点， $(x, y, w)^{T}=(x/w, y/w, 1)^{T}$ )。

[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} x + t_{x} \\ y + t_{y} \\ 1 \end{matrix}]

$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x + t_x \\ y + t_y \\ 1 \end{matrix} \right]$

平移

以此类推我们需要表示三维点和三维向量的时候，需要引入齐次坐标增加到四维。

矩阵变换-视口变换Viewing

定义一个相机由三大部分组成 1.相机位置pos $e$ 2.相机朝向方向 $\hat{g}$ 3.相机上方向 $\hat{t}$
当相机与目标之间的相对位置不变时，所投影得到的图像仍然一致。于是假设相机在原点、朝向-Z轴方向和相机上方向为Y轴。为了将相机移到原点对应的视口矩阵，需要对相机先平移后旋转 $M_{view}=R_{view}T_{view}$ 。其中相机的旋转矩阵需要从矩阵的逆进行推导，我们能从相机的定义得到相机初始朝向的三个轴 $((\hat{g}\times\hat{t}),\hat{t}, -\hat{g})$ ，我们需要把相机移动到原点，又因旋转矩阵为正交矩阵。则通过转置便可以得到旋转矩阵。

R_{v i e w}^{- 1} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & x_{e} \\ 0 & 1 & 0 & y_{e} \\ 0 & 0 & 1 & z_{e} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$R_{view}^{-1}= \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & x_e\\ 0 & 1 & 0 & y_e\\ 0 & 0 & 1 & z_e\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

R_{v i e w}^{- 1} = [\begin{matrix} x_{\hat{g} \times \hat{t}} & x_{\hat{t}} & x_{- \hat{g}} & 0 \\ y_{\hat{g} \times \hat{t}} & y_{\hat{t}} & y_{- \hat{g}} & 0 \\ z_{\hat{g} \times \hat{t}} & z_{\hat{t}} & z_{- \hat{g}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$R_{view}^{-1}= \left[ \begin{matrix} x_{\hat{g}\times\hat{t}} & x_{\hat{t}} & x_{-\hat{g}} & 0\\ y_{\hat{g}\times\hat{t}} & y_{\hat{t}} & y_{-\hat{g}} & 0\\ z_{\hat{g}\times\hat{t}} & z_{\hat{t}} & z_{-\hat{g}} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

R_{v i e w} = [\begin{matrix} x_{\hat{g} \times \hat{t}} & y_{\hat{g} \times \hat{t}} & z_{\hat{g} \times \hat{t}} & 0 \\ x_{\hat{t}} & y_{\hat{t}} & z_{\hat{t}} & 0 \\ x_{- \hat{g}} & y_{- \hat{g}} & z_{- \hat{g}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$R_{view}= \left[ \begin{matrix} x_{\hat{g}\times\hat{t}} & y_{\hat{g}\times\hat{t}} & z_{\hat{g}\times\hat{t}} & 0\\ x_{\hat{t}} & y_{\hat{t}} & z_{\hat{t}} & 0\\ x_{-\hat{g}} & y_{-\hat{g}} & z_{-\hat{g}} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

矩阵变换-投影变换Projection

投影变换将观察坐标系的点投影到图像上。

正交投影Orthographic Projection

正交投影就是将一个立方体 $[l, r]\times[b, t]\times[f, n]$ 进行见平移后缩放映射到一个规范正方体Canonical $[-1, 1]^3$ .

M_{o r t h o} = [\begin{matrix} \frac{2}{r - l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n - f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - \frac{r + l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{t + b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{n + f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$M_{ortho}= \left[ \begin{matrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2}\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

透视投影Perspective Projection

透视投影与正交投影的不同之处在于原先平行的视线不再平行，符合近大远小的特征。透视矩阵一般分成两步1.将透视投影挤压到正交投影的形式 $M_{Perp->Ortho}$ ，其中 $n, f$ 不变 2.再进行正交投影的步骤 $M_{Ortho}$ .则对应透视投影的矩阵为 $M_{Perp}=M_{Ortho}M_{Perp->Ortho}$ .

由上图可以推导除第三行对应的投影矩阵

M_{P e r p - > O r t h o} = [\begin{matrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

$M_{Perp->Ortho}= \left[ \begin{matrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ ? & ? & ? & ?\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right]$

对应剩下z轴的推导，我们可以通过透视投影的原理得到两个结论1.在近平面所有点的z值不变。2.远平面上的点z值也不变。又因z值与x、y值无关，我们假设矩阵第三行 $M_{第三行}=[0 & 0 & A & B]$ .

M_{P e r p - > O r t h o} [\begin{matrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} n x \\ n y \\ n^{2} \\ n \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 & 0 & A & B \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{matrix}] = n^{2}

$M_{Perp->Ortho} \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} nx \\ ny \\ n^2 \\ n \end{matrix} \right] , \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & A & B \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{matrix} \right] =n^2$

近平面推导

M_{P e r p - > O r t h o} [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ f^{2} \\ f \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 & 0 & A & B \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \end{matrix}] = f^{2}

$M_{Perp->Ortho} \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ f^2 \\ f \end{matrix} \right] , \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & A & B \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \end{matrix} \right] =f^2$

远平面推导：取 $(0, 0, f, 1)$

综上，透视投影转正交投影对应的矩阵 $M_{Perp->Ortho}$ 如下.

M_{P e r p - > O r t h o} = [\begin{matrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n + f & - n f \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

$M_{Perp->Ortho}= \left[ \begin{matrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]$

最后对应的作业1可能涉及到罗德里格斯公式，就暂时不展开来分析，后续应该在虎书中会提到再补充。
第一节的内容就大致是这些，感谢看到这里，Cheers！

posted @ 2023-03-10 16:39 xkyl 阅读(66) 评论(0) 编辑收藏举报

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