线代笔记 #04# 线性变换

源: 线性代数的本质 

 

1、如何用数字描述向量

每当我们用数字描述向量，都依赖于我们正在使用的基

有了基之后，如何用数字刻画一个向量呢？

例如说，我们用 i 帽和 j 帽线性组合得得一个向量 v ， v = x * i + y * j

只需要取出 i 帽和 j 帽前面的参数 x 和 y，就可以在该基下唯一确定一个向量 v 

换句话话说， v 是该基下 x 和 y 的唯一映射

v 是 i 帽和 j 帽的一个特定线性组合

 

2、什么是线性变换

直观地说，如果一个变换具有以下两条性质，我们就称它是线性的

一是直线在变换后仍然保持为直线，不能有所弯曲

二是原点必须保持固定

“变换”本质上是“函数”的一种花哨的说法

它接收输入内容，并输出对应结果

特别地，在线性代数的情况下

我们考虑的是接收一个向量并且输出一个向量的变换

既然“变换”和“函数”意义相同，为什么还要使用前者而不是后者？

因为使用“变换”是在暗示以特定方式来可视化这一输入-输出关系

 

3、如何用数字描述线性变换 

我们在用矩阵描述线性变换时，

实际上是在描述变换后的基向量坐标

由于 v 是 i 帽和 j 帽的一个特定线性组合

只要记录了变换后的i帽和j帽

我们就可以推断出任意向量在变换之后的位置

完全不必观察变换本身是什么样

 

重要的补充：向量是线性变换的载体，线性变换接收一个向量并输出一个向量，例如 [ ... .] inputv = outputv ，这和 f (intput) = output  是类似的，不同的是参数和结果变成了向量。