【莫比乌斯反演】BZOJ2005 [NOI2010]能量采集

Description

　　求sigma gcd(x,y)*2-1，1<=x<=n, 1<=y<=m。n, m<=1e5。

 

Solution

　　f(n)为gcd正好是n的(x,y)的个数

　　F(n)为gcd是n的倍数的(x,y)的个数

　　我们要求的就是f(i)

　　然而这个不好直接算，可F(i)可以直接用(n/i)*(m/i)得到

　　那么有F(n)=sigma n|i f(i)

　　于是有f(n)=sigma n|i mu(i)*F(i)

　　这就是莫比乌斯反演，不过这道题直接用容斥的思想想也很容易得到上面那个式子

　　那么考虑每一个gcd的贡献

　　把n和m除以gcd后，就相当于要求n次f(1)

　　每次均摊logn

 

Code

　　也有不用反演的做法，大概是从后往前算，每一步都严格定义，用容斥做。

　　这道题是我做的BZOJ第三题，不过当时只会80/90暴力然后去看的题解的容斥，那时候觉得把每一个gcd分开考虑贡献真是神奇，不过对于现在是再自然不过的想法了。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;

int flag[maxn],prime[maxn],cnt;
int mu[maxn];
int N,M;

int getmu(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!flag[i]){
            mu[i]=-1;
            prime[++cnt]=i;
        }
        for(int j=1;i*prime[j]<=N&&j<=cnt;j++){
            flag[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}

ll work(int x){
    ll ret=0;
    int n=N/x,m=M/x;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ret+=1ll*mu[i]*(n/i)*(m/i);
    return ret;
}

int main(){
    scanf("%d%d",&N,&M);
    if(N>M) swap(N,M);
    getmu();
    
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        ans+=work(i)*(2*i-1);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}