【二分+容斥+莫比乌斯反演】BZOJ2440 完全平方数

Description

　　求第k个没有完全平方因子的数，k<=1e9。

 

Solution

　　这其实就是要求第k个µ[i](莫比乌斯函数)不为0的数。

　　然而k太大数组开不下来是吧，于是这么处理。

　　二分答案x，问题转化为求[1,x]间有多少个没有完全平方因子的数。

　　容斥，加上全部，减去一个质数的平方的倍数个数，加上两个质数乘积的平方的倍数个数...

　　然后发现，每个数的系数就是µ

　　这也说明了莫比乌斯的原理就是容斥，µ函数就是容斥系数

　　具体来说，对于每一个i<=sqrt(x)，对于ans的贡献就是µ[i]*int(n/(i*i))(向下取整)

　　有 于是二分上限2*k

　　复杂度为log(n)*sqrt(n)

 

Code

　　一开始直接mid=(l+r)>>1溢出T了一发

　　正确姿势mid=l>>1+r>>1+(l&r&1)

　　

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=5e4+5;

int mu[maxn],flag[maxn];
int prime[maxn],cnt;

int getmu(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++){
        if(!flag[i]){
            prime[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;i*prime[j]<maxn&&j<=cnt;j++){
            flag[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}

int work(int n){
    int ret=0;
    for(int i=1;i*i<=n;i++)
        ret+=mu[i]*int(1.0*n/(i*i));
    return ret;
}

int main(){
    int T,k;
    scanf("%d",&T);
    getmu();
    
    while(T--){
        scanf("%d",&k);
        int l=1,r=2*k;
        while(l<r){
            int mid=(l>>1)+(r>>1)+(l&r&1);
            if(work(mid)>=k) r=mid;
            else l=mid+1;
        }
        printf("%d\n",l);
    }
    return 0;
}