【卡特兰数】BZOJ1485: [HNOI2009]有趣的数列

Description

 我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

    (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

    (2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

    (3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

    现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

 

Solution

发现一些性质

①如果奇数位置的确定，偶数位置的也确定；

②记录奇数位置相邻“跳”过位置的个数(猎奇的表述=v=，1到3就是跳了1个位置)，那么i位置已跳过的值<i，否则不合法。

对于性质②，我们可以联想到另外一种限制模型，也就是栈。

把奇数视为入栈，偶数视为出栈(具体的自己脑补)。

然后就是给定入栈求出栈。

也就是卡特兰数。

公式为C(2n,n)/(n+1)

 

Code

好久没有写分解质因数啥的了

自己打出来比较蠢的版本到1e6会T

于是去膜了一下别人的代码

这种筛法是线性的，同时可以求出每个数最小质因数

于是为后面的质因数分解带来了方便

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e6+5;

int n,mod,cnt;
int flag[2*maxn],prime[maxn],dy[2*maxn],tot[maxn];

int getPri(){
    for(int i=2;i<=2*n;i++){
        if(!flag[i]){
            prime[++cnt]=i;
            dy[i]=cnt;
        }
        for(int j=1;prime[j]*i<=2*n&&j<=cnt;j++){
            flag[prime[j]*i]=1;
            dy[prime[j]*i]=j;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

int add(int x,int k){
    while(x!=1){
        tot[dy[x]]+=k;
        x/=prime[dy[x]];
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&mod);
    getPri();
    
    for(int i=n+1;i<=2*n;i++) add(i,1);
    for(int i=1;i<=n;i++) add(i,-1);
    add(n+1,-1);
    
    ll ans=1;
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        while(tot[i]){
            ans=(ans*prime[i])%mod;
            tot[i]--;
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}