【数学建模】【APIO2015】Palembang Bridges
Description
一条东西走向的穆西河将巴邻旁市一分为二,分割成了区域 A 和区域 B。
Input
输入的第一行包含两个正整数 K 和 N,分别表示桥的上限数量和居民的数量。
Output
输出仅为一行,包含一个整数,表示 D1+D2+⋯+DN 的最小值。
Sample Input
B 0 A 4
B 1 B 3
A 5 B 7
B 2 A 6
B 1 A 7
Sample Output
HINT
K=1或K=2
题解
/*自己搞出来的一道题,真是好感动*/
为了方便,在同一侧的直接处理掉。
K=1时,显然就是取中位数。
K=2时,考虑每一对(S,T),(绿蓝代表两座桥),那么肯定是要选两条红线短的那一边。不过这样还不够好考虑,我们不如让着两条直线伸长相等的距离,延伸到中点。
于是对于每一对(S,T),直接看Mid到两墙的距离就可以选择了。
进一步得出,如果我们把它们按中点排序,那么最后的局面肯定是,左部分都去桥1,右部分都去桥2,有一个分割点。
那么我们可以枚举分割点,分别计算两部分的最优桥,很神奇的把K=2分成了两个K=1,得到n^2的算法。
显然最优桥我们是可以动态维护的。
考虑点i(一对ST),把它从右部分加入左部分。
那么它对于最优桥的影响是可以讨论的,过程很傻逼可以自己试一试。
我得到的结果是,考虑左右部分肯定都是偶数,那么另左部分中位数取(len/2),右部分中位数取(len/2+1),这么做比较方便。
然后加点到左部分的时候,因为我们已经按中点排序,所以只可能是一左一右或者两右(左右是相对当前最优桥而言的)。
那么如果是一左一右,最优桥不发生变化,对ans新的贡献也就是这个点的贡献。
如果是两右,会使最优桥右移一位,但对于之前已加入的点是没有影响的,ans的改变还是只有这个点。
于是用两个树状数组模拟两边,每次求最优桥(这个也用树状数组求第k小数),然后维护ans也就是计算当前点的影响就行了。
复杂度O(nlogn)。说不清还是看代码吧。
主要考察数学建模、对数据结构的应用,感觉这题还是蛮好的。
代码
代码能力各种逗啊QwQ 调了好久 但调出来后真是好久没觉得这么爽了
#include<cstdio> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const int maxn=1e5+5; int abs(int x){return x>0?x:-x;} struct point{ int x,y,idx,idy,mid; bool operator <(const point&aa) const {return mid<aa.mid;} }a[maxn]; int b[maxn*2],l,len,k,n; ll ans; void prepare(){ for(int i=1;i<=l;i++) b[++len]=a[i].x,b[++len]=a[i].y; sort(b+1,b+len+1); for(int i=1;i<=l;i++){ if(a[i].x>a[i].y) swap(a[i].x,a[i].y); a[i].idx=lower_bound(b+1,b+len+1,a[i].x)-b; a[i].idy=lower_bound(b+1,b+len+1,a[i].y)-b; } } int S1[maxn*2],S2[maxn*2]; int lowbit(int o){return o&-o;} int add(int o,int k,int* C){ while(o<=len){ C[o]+=k; o+=lowbit(o); } } int find(int k,int *C){ int ret=0,cnt=0; for(int i=17;i>=0;i--){ ret+=(1<<i); if(ret>len||cnt+C[ret]>=k) ret-=(1<<i); else{ cnt+=C[ret]; } } return ret+1; } ll solve(){ ll ans1=0,ans2=0,ansx=0; prepare(); int A=0,B=b[len/2+1]; for(int i=1;i<=len;i++) ans2+=abs(B-b[i]); for(int i=1;i<=l;i++) add(a[i].idx,1,S2),add(a[i].idy,1,S2); ansx=ans2; for(int i=1;i<=l;i++){ int l1=i*2,l2=len-i*2; add(a[i].idx,1,S1);add(a[i].idy,1,S1); add(a[i].idx,-1,S2);add(a[i].idy,-1,S2); ans2-=abs(a[i].x-B)+abs(a[i].y-B); A=b[find(l1/2,S1)],B=b[find(l2/2+1,S2)]; ans1+=abs(a[i].x-A)+abs(a[i].y-A); if(ans1+ans2<ansx) ansx=ans1+ans2; } return ansx; } int main(){ char p,q; int u,v; scanf("%d%d",&k,&n); if(k==1){ ans=n; for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("\n%c %d %c %d",&p,&u,&q,&v); if(p==q) ans+=abs(u-v),ans--; else b[++l]=u,b[++l]=v; } sort(b+1,b+l+1); int A=b[l/2]; for(int i=1;i<=l;i++) ans+=abs(A-b[i]); printf("%lld\n",ans); } else{ ans=n; for(int i=1;i<=n;i++){ l++; scanf("\n%c %d %c %d",&p,&a[l].x,&q,&a[l].y); if(p==q) ans+=abs(a[l].x-a[l].y)-1,l--; else a[l].mid=a[l].x+a[l].y; } sort(a+1,a+l+1); printf("%lld",ans+solve()); } return 0; }