有关几个特殊命题的证明

这学期刚学习完线性代数，虽然说起来工科生的线性代数不算很难，不过如果要想学的更深入一些，则还有很多材料可供阅读与理解。最近时间不多，难以实践这样的设想；先把这学期所学的一点点内容做一些简单的整理，提高的工作得之后再抽时间来做了。

这次整理的是有关于矩阵秩的四个简单命题，不过我觉得这些命题的证明方法都具有一定的代表性，虽然不难理解，但还是有一些值得品味的地方。因此放在这里，分享给大家。（这几个命题的证明，都是我自己完成的，毕竟这种像练习题一样的命题，证明起来难度都不大。如果所学不多的话，证明方法大概也是大同小异的吧）

命题1：设$\mathbf{A}_{n\times m},\mathbf{B}_{m\times n}$.若$\mathbf{AB}=\mathbf{O}$,则$r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})\leq n$.

证明：若$\mathbf{B}=\mathbf{O}$,结论必成立.反之,则$\mathbf{B}$至少有一个非零列$\mathbf{\beta_j}$.则

$$\mathbf{AB}=\mathbf{A}[\mathbf{\beta_1} \cdots \mathbf{\beta_j} \cdots \mathbf{\beta_n}]=[\mathbf{A\beta_1} \cdots \mathbf{A\beta_j} \cdots \mathbf{A\beta_n}]=\mathbf{O},$$
从而$\mathbf{Ax=0}$至少有$r(\mathbf{B})$个线性无关解.由此知

$$r(\mathbf{A})\leq n-r(\mathbf{B}),$$

移项即得所需证明的结果.

 命题2：若$\mathbf{A,B}$是同型矩阵,则有$r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})\geq r(\mathbf{A+B})$.

证明：设$\mathbf{A}$的极大无关列向量组为$$\{\alpha_{k_1},\cdots,\alpha_{k_{r(\mathbf{A})}}\},$$ $\mathbf{B}$的极大无关列向量组为$$\{\beta_{k_1},\cdots,\beta_{k_{r(\mathbf{B})}}\}.$$ 那么显然,$\mathbf{A+B}$的列向量组必为$\mathbf{A,B}$各自极大无关列向量组的并集之张成

$$\mathbf{P}=\mathrm{span}\{\alpha_{k_1},\cdots,\alpha_{k_{r(\mathbf{A})}},\beta_{k_1},\cdots,\beta_{k_{r(\mathbf{B})}}\},$$
而该向量组的秩$r(\mathbf{P})$不超过作为张成"基底"的元素数,即$r(\mathbf{P})\leq r(\mathbf{A)}+r(\mathbf{B})$.由此,便有
$$r(\mathbf{A+B})\leq r(\mathbf{P})\leq r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B}).$$

 

命题3：$r(\mathbf{AB})\leq \min\{r(\mathbf{A}),r(\mathbf{B})\}$.

证明：设$\mathbf{B}$的极大无关列向量组为$\{\beta_{k_1},\cdots,\beta_{k_{r(\mathbf{B})}}\}$.则$B$左乘$A$后所得到的对应列变为

$$\mathbf{P}=\{\mathbf{A}\beta_{k_1},\cdots,\mathbf{A}\beta_{k_{r(\mathbf{B})}}\},$$

易见$AB$的各列向量均属于$\mathrm{span}\mathbf{P}$.但是如同命题2中那样,应当有$r(\mathbf{P})\leq r(\mathbf{B})$(如出现$\mathbf{A}\beta_{k_m}=\mathbf{0}$等情况).因此,可以得到

$$r(\mathbf{AB})\leq r(\mathbf{P})\leq r(\mathbf{B}).$$

再利用转置关系和刚刚所得到的结论,便有

$$r(\mathbf{AB})=r(\mathbf{B}^T \mathbf{A}^T)\leq r(\mathbf{A}^T)=r(\mathbf{A}),$$

由此即知$r(\mathbf{AB})\leq\max\{r(\mathbf{A}),r(\mathbf{B})\}.$

 

命题4：

设$\mathbf{A}_{n\times n}$,则
$$r(\mathbf{A}^{\ast})=
\begin{cases}
n &, r(\mathbf{A})=n;\\
1 &, r(\mathbf{A})=n-1;\\
0 &, r(\mathbf{A})\leq n-2.
\end{cases}
$$
其中$\mathbf{A}^{\ast}$为$\mathbf{A}$的伴随矩阵.

证明：分情况考虑.

1. 若$r(\mathbf{A})=n$,那么将有$|\mathbf{A}|\neq 0$,进而$|\mathbf{A}^{\ast}|=|\mathbf{A}|^{n-1}\neq 0$,故$r(\mathbf{A}^{\ast})=n.$
2. 若$r(\mathbf{A})=n-1$,那么必有$\mathbf{A}^{\ast}\neq \mathbf{O}$(此时$\mathbf{A}$尚有$n-1$阶非零余子式),从而得到
   \begin{equation} \label{eq:1}
   r(\mathbf{A}^{\ast})\geq 1.
   \end{equation}
   另一方面,由于$\mathbf{A}$非满秩,故$|\mathbf{A}|=0$,从而根据
   $$\mathbf{A}\mathbf{A}^{\ast}=|\mathbf{A}|\mathbf{I}=\mathbf{O}$$
   并利用命题1的结论,即可以知道$r(\mathbf{A}^{\ast})+r(\mathbf{A})\leq n$,从而
   \begin{equation} \label{eq:2}
   r(\mathbf{A}^{\ast})\leq n-r(\mathbf{A})=1.
   \end{equation}
   综合不等式$\mbox{(\ref{eq:1})}$,$\mbox{(\ref{eq:2})}$,即得$$r(\mathbf{A}^{\ast})=1.$$
3. 若$r(\mathbf{A})\leq n-2$,那么$\mathbf{A}$的所有$n-1$阶余子式均为0,从而必有$$\mathbf{A}^{\ast}=\mathbf{O}.$$由此便有$$r(\mathbf{A}^{\ast})=0.$$

 

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