【校理】圆锥曲线在平面内的统一方程

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圆锥曲线的一般方程

\[Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0 \]

体现了圆锥曲线的普遍性质，但同时也包含了其退化形式，如圆、直线等。这里我们所要做的，是用能够体现圆锥曲线的三种形式（椭圆、双曲线、抛物线）的特征的参数（离心率 、焦点、焦准距、倾斜角）在平面内表示出任意的圆锥曲线。

首先，需要用到圆锥曲线在极坐标中的标准方程

\[\rho=\frac{e\rho}{1-e\cos\theta}\quad(e>0,p>0) \]

这个方程表示一个轴所在直线与极轴所在直线重合的圆锥曲线。其中极点为抛物线焦点，或椭圆左焦点，或抛物线右焦点。

这里我们规定其轴的方向向量\(\vec{n}\)，方向向右（即极轴的正方向），方便后文的解释说明。

现在将方程对应的曲线绕极点逆时针旋转\(\alpha\)角（\(0\leq\alpha<2\pi\)），此时方程变为

\[\rho=\frac{ep}{1-e\cos(\theta-\alpha)} \]

与极轴的夹角对应为\(\alpha\)。展开方程，化简为

\[\rho(1-e\cos\theta\cos\alpha-e\sin\theta\sin\alpha=ep \]

以极轴端点为原点，极轴为\(x\)轴方向，建立平面直角坐标系，则有

\[\begin{cases}\rho\cos\theta=x\\\rho\sin\theta=y\end{cases} \]

代入方程，化简，得到如下方程：

\[e|x\cos\alpha+y\sin\alpha+p|-\sqrt{x^2+y^2}=0 \]

横向平移\(g\)个单位，纵向平移\(h\)个单位，使圆锥曲线焦点从\((0,0)\)平移到\((g,h)\)，对应方程为：

\[e|(x-g)\cos\alpha+(y-h)\sin\alpha+p|=\sqrt{(x-g)^2+(y-h)^2} \]

以上所得方程即为圆锥曲线在平面内的统一方程（以\(e\)为离心率，\(p\)为焦准距）。

1. 当\(e>1\)时，表示以\(F(g,h)\)为一个焦点，\(\alpha\)为\(\vec{n}\)与极轴所夹角的双曲线。
2. 当\(e=1\)时，表示以\(F(g,h)\)为焦点，\(\alpha\)为\(\vec{n}\)与极轴所夹角的抛物线。
3. 当\(e<1\)时，表示以\(F(g,h)\)为一个焦点，\(\alpha\)为\(\vec{n}\)与极轴所夹角的椭圆。

同时，我们也可看到，当\(e=0\)时，方程表示点\(F(g,h)\)。这是圆锥曲线的一种退化形式。

分析这个方程，可以发现仅有五个参数\((e,p,\alpha,g,h)\)，就可以在平面内表示任意一个圆锥曲线，这恰能说明平面内五点可以确定一个圆锥曲线。（不包含其退化形式）

此外，根据这个方程还可以推导出其他相关量。如\(F(g,h)\)对应的准线方程

\[\frac x{\tan\alpha}+y+p\sqrt{1+\frac1{\tan\alpha}}-\frac g{\tan\alpha}-h=0 \]

\(\vec{n}\)所在直线方程：

\[(x-g)\tan\alpha=y-h. \]