状态机——奇葩的状态表示

状态机——奇葩的状态表示

简述

在动态规划中，遇到有一个点有多个状态，混在一起无法表示，那么就可以把状态分开，并且构造出不同状态之间的转移关系，然后再求出状态转移方程，之后就OK了。

题目

1049. 大盗阿福

题目描述

阿福是一名经验丰富的大盗。趁着月黑风高，阿福打算今晚洗劫一条街上的店铺。

这条街上一共有 N 家店铺，每家店中都有一些现金。

阿福事先调查得知，只有当他同时洗劫了两家相邻的店铺时，街上的报警系统才会启动，然后警察就会蜂拥而至。

作为一向谨慎作案的大盗，阿福不愿意冒着被警察追捕的风险行窃。

他想知道，在不惊动警察的情况下，他今晚最多可以得到多少现金？

输入格式

输入的第一行是一个整数 T，表示一共有 T 组数据。

接下来的每组数据，第一行是一个整数 N ，表示一共有 N 家店铺。

第二行是 N 个被空格分开的正整数，表示每一家店铺中的现金数量。

每家店铺中的现金数量均不超过1000。

输出格式

对于每组数据，输出一行。

该行包含一个整数，表示阿福在不惊动警察的情况下可以得到的现金数量。

数据范围

1≤T≤50,
1≤N≤105

输入样例：

2
3
1 8 2
4
10 7 6 14

输出样例：

8
24

样例解释

对于第一组样例，阿福选择第2家店铺行窃，获得的现金数量为8。

对于第二组样例，阿福选择第1和4家店铺行窃，获得的现金数量为10+14=24。

方法一：使用传统方法解

状态表示f[i]表示选择到这一个点，最多可以有多少money

状态转移：

1. 不选择这一个点，那么f[i] = f[i-1]
2. 选择这一个点，那么f[i] = w + f[i-2]（上一个点不能选）
3. 初始状态：f[1] = w1; f[2] = max(w1, w2)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100200
int a[N];
int f[N];
int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 1; i<= n; i++) scanf("%d", a+i);
        f[1] = a[1];
        for(int i = 2 ; i <= n; i++){
            f[i] = max(f[i- 1], f[i - 2] + a[i]);
        }
        printf("%d\n", f[n]);
    }
    return 0;
}

方法二：使用状态机进行表示

​

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100200
int a[N];
int f[N][2];
int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 1; i<= n; i++) scanf("%d", a+i);
        for(int i = 1 ; i <= n; i++){
            f[i][0] = max(f[i-1][1], f[i-1][0]);
            f[i][1] = f[i - 1][0] + a[i];
        }
        printf("%d\n", max(f[n][0], f[n][1]));
    }
    return 0;
}

1057. 股票买卖 IV

给定一个长度为 N 的数组，数组中的第 i 个数字表示一个给定股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润，你最多可以完成 k 笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。一次买入卖出合为一笔交易。

输入格式

第一行包含整数 N 和 k，表示数组的长度以及你可以完成的最大交易笔数。

第二行包含 N 个不超过 10000 的正整数，表示完整的数组。

输出格式

输出一个整数，表示最大利润。

数据范围

1≤N≤\(10^5\),
1≤k≤100

输入样例1：

3 2
2 4 1

输出样例1：

2

输入样例2：

6 2
3 2 6 5 0 3

输出样例2：

7

样例解释

样例1：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

样例2：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。共计利润 4+3 = 7.

题解

状态机定义

​

状态表示：
f[i][j][0]表示在第 i 天，进行总共进行了 k 次交易，手中无货的所有情况。
f[i][j][1]表示在第 i 天，之前总共进行了 k-1 次交易，手中有货的所有情况。
属性为max

状态转移：

对于f[i][j][0]：

1. f[i-1][j][0]没有买货
2. f[i-1][j][1]+w[i]卖了货，现在手里面没有货，已经进行了j次交易

对于f[i][j][1]：

1. f[i-1][j][1]没有卖货
2. f[i-1][j-1][0]-w[i]买了货，现在手里面有货，已经进行了j-1次交易，这一次是第 j 次

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100200
int f[N][105][2];
int a[N];
int n, m;
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d", a+i);
    }
    // 初值为0并不是合法值，必须要经过初始化
    memset(f, -0x3f, sizeof f);
    for(int i = 0; i <= n; i++) f[i][0][0] = 0;
  
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            f[i][j][0] = max(f[i-1][j][0], f[i-1][j][1] + a[i]);
            f[i][j][1] = max(f[i-1][j][1], f[i-1][j-1][0] - a[i]);
        }
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i<= m; i++) ans = max({ans, f[n][i][0], f[n][i][1]});
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

1058. 股票买卖 V

给定一个长度为 N 的数组，数组中的第 i 个数字表示一个给定股票在第 i 天的价格。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

• 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
• 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

输入格式

第一行包含整数 N，表示数组长度。

第二行包含 N 个不超过 10000 的正整数，表示完整的数组。

输出格式

输出一个整数，表示最大利润。

数据范围

1≤N≤\(10^5\)

输入样例：

5
1 2 3 0 2

输出样例：

3

样例解释

对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]，第一笔交易可得利润 2-1 = 1，第二笔交易可得利润 2-0 = 2，共得利润 1+2 = 3。

题解

对于这一道题目，与上一道相比，没有的次数限制，所以没有必要使用第二维。

状态机设计：

• 表示状态
• 表示转移的边（对于每一个点枚举三种操作（忽略，买入，卖出）来构成边）
• 寻找入口以及出口

​

入口是最右面的状态。

出口是中间以及最右面的状态。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+5;
int a[N];
int f[N][3];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", a+i);
    }
    // memset(f, -0x3f, sizeof f); 其实没有这样的必要
    f[0][1] = f[0][0] = -0x3f3f3f3f;
    f[0][2] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        f[i][0] = max(f[i-1][0], f[i-1][2] - a[i]);
        f[i][1] = f[i-1][0] + a[i];
        f[i][2] = max(f[i-1][1], f[i-1][2]);
    }
    printf("%d\n", max(f[n][1], f[n][2]));
    // for(int i = 1; i <= n; i++){
    //     printf("%d\t%d\t%d\n", f[i][0], f[i][1], f[i][2]);
    // }
    return 0;
}

1052. 设计密码

你现在需要设计一个密码 S，S 需要满足：

• S 的长度是 N；
• S 只包含小写英文字母；
• S 不包含子串 T；

例如：abc 和 abcde 是 abcde 的子串，abd 不是 abcde 的子串。

请问共有多少种不同的密码满足要求？

由于答案会非常大，请输出答案模 \(10^9+7\) 的余数。

输入格式

第一行输入整数N，表示密码的长度。

第二行输入字符串T，T中只包含小写字母。

输出格式

输出一个 正整数 ，表示总方案数模 \(10^9+7\) 后的结果。

数据范围

1≤N≤50,
1≤|T|≤N，|T|是T的长度。

输入样例1：

2
a

输出样例1：

625

输入样例2：

4
cbc

输出样例2：

456924

我万万想不到竟然会在这里邂逅美妙的KMP

当遇到子串问题的时候，想想KMP的前缀函数。

对于每一个新出现的字符，那么模式串中的哪一个指针就会跳一下。
如果模式串中的指针跳到了模式串的最末尾，那么意思就是已经发生了匹配。

在这道题目中，对于字符的每一个位置，都有26中选择，对于每一个选择，模式串的指针都会跳一下。

到最后，每一条状态转移的路径就对应着填写数字的一种方法（跳到末尾的忽略）

仅仅需要计数，求解方案数就可以了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 55
int n, m;
char a[N];
int nxt[N];
long long f[N][N];
const int mod = 1e9 + 7;

int main()
{
    scanf("%d%s", &n, a+1);
    m = strlen(a+1);
    for(int i = 2, j = 0; i <= m; i++)
    {
        while(j && a[j+1] != a[i]) j = nxt[j];
        if(a[j+1] == a[i]) j++;
        nxt[i] = j;
    }
    f[0][0] = 1;
// BUG 注意是从当前的状态往后推，而不是求从哪里转移过来
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        for(int j = 0; j < m; j++)
        {
            for(char k = 'a'; k <= 'z'; k++)
            {
                int p = j;
                while(p && a[p+1] != k) p = nxt[p];
                if(a[p+1] == k) p++;
                if(p < m) f[i+1][p] = (f[i+1][p] + f[i][j]) % mod;
            }
        }
    }
    long long ans = 0;
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        ans = (ans + f[n][i]) % mod;
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}