算法竞赛进阶指南 0x24 迭代加深

对于深度优先，如果答案在很浅的部位，但是整个搜索树过于深，那么就会寄掉。

但是对于广度优先，本来挺好，但是在队列里面存储太多的元素，到时爆。同时，广度优先也不容易存储数据。

对于迭代加深，就是限定层数进行搜索。当这一层没有答案的时候，把限定的层数增加，再次搜索。

1. 有着广搜的搜索浅层的时间复杂度
2. 不会爆空间
3. 容易利用系统所给的栈来进行存储

AcWing170. 加成序列

满足如下条件的序列 X（序列中元素被标号为 1、2、3…m）被称为“加成序列”：

1. X[1]=1
2. X[m]=n
3. X[1]<X[2]<…<X[m−1]<X[m]
4. 对于每个 k（2≤k≤m）都存在两个整数 i 和 j （1≤i,j≤k−1，i 和 j 可相等），使得X[k]=X[i]+X[j]1. 。

你的任务是：给定一个整数 n，找出符合上述条件的长度 m 最小的“加成序列”。

如果有多个满足要求的答案，只需要找出任意一个可行解。

输入格式

输入包含多组测试用例。

每组测试用例占据一行，包含一个整数 n。

当输入为单行的 0 时，表示输入结束。

输出格式

对于每个测试用例，输出一个满足需求的整数序列，数字之间用空格隔开。

每个输出占一行。

数据范围

1≤n≤100

输入样例：

5
7
12
15
77
0

输出样例：

1 2 4 5
1 2 4 6 7
1 2 4 8 12
1 2 4 5 10 15
1 2 4 8 9 17 34 68 77

答案在浅层，因为通过[1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128],可能的情况的层数少于8层。但是如果直接dfs，可能会整一个100层。

优化：

1. 优化搜索的顺序
2. 对重复的情况进行排除冗余等效。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 120
int n;
int path[N];
 
bool dfs(int u, int k)//u表示当前是多少层，k表示当最多搜索k-1层
{
    if(u == k) return path[u-1] == n;
 
    bool v[N] = {0};//注意初始化
    for(int i = u-1; i > 0; i--)//从大到小进行枚举（优化搜索顺序）
        for(int j = i; j > 0; j--)//int j = i可以减少重复
        {
            int sum = path[i] + path[j];
            if(sum <= path[u-1] || sum > n || v[sum]) continue;
            v[sum] = true;//排除等效冗余
            path[u] = sum;
            if(dfs(u+1, k))return true;
        }
 
 
    return false;
}
int main()
{
    while(cin >> n, n)
    {
        // if(n == 1) {
        //     puts("1");
        //     continue;
        // }
        int k = 2; //表示最多的层数(共搜索k-1层)
        /*
        DEBUG:
        当 k的初始值是1的话，由于我从u == 2开始，所以迭代加深并没有起到任何的作用，所以会直接把所有的界定啊全部搞一遍。。。
        */
        path[1] = 1;
        while(!dfs(2, k)) k++;
        for(int i = 1; i < k; i++) printf("%d ", path[i]);
        puts("");
    } 
    return 0;
}

AcWing171. 送礼物

达达帮翰翰给女生送礼物，翰翰一共准备了 N 个礼物，其中第 i 个礼物的重量是 G[i]。

达达的力气很大，他一次可以搬动重量之和不超过 W

的任意多个物品。

达达希望一次搬掉尽量重的一些物品，请你告诉达达在他的力气范围内一次性能搬动的最大重量是多少。

输入格式

第一行两个整数，分别代表 W 和 N。

以后 N 行，每行一个正整数表示 G[i]。

输出格式

仅一个整数，表示达达在他的力气范围内一次性能搬动的最大重量。

数据范围

1≤N≤46,

1≤W,G[i]≤231−1

输入样例：

20 5
7
5
4
18
1

输出样例：

19

“降维打击”

这一道题目其实可以使用背包问题来做，先降维打击：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100
int w[N], v[N];
int n, vol;
int dp[N];
int main()
{
    cin >> vol >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        v[i] = x;
        w[i] = x;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = vol; j > 0; j--)
        {
            if(j- w[i] > 0)
            {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);
            }
        }
    }
    cout << dp[vol];
    return 0;
}

但是出事了：

1. 背包的时间复杂度是 $m* n$
2. 由于m过大，会爆内存。

所以一定要看清楚题目！

暴搜练习生：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10
int path[N];
void dfs(int u, int k)
{
    if(u == k)
    {
        for(int i = 1; i <= u-1; i++) printf("%d", path[i]);
        putchar('\n');
        return;
    }
    path[u] = 0;
    dfs(u+1, k);
    path[u] = 1;
    dfs(u+1, k);
}
int main()
{
    int xx = 5;//打印4位依次递增的二进制数（实现以递归形式写出来了暴力破译）
    dfs(1, xx);
    return 0;
}

还有一种情况是使用一个数字每次加一，然后通过每一位是不是一来决定对应的情况。

正二八经

这一道题目采用双向搜索，先搜索前一半，然后再搜索后一半。

计算集合内元素相加不超过某一个子的方法

1. 两个都排序，然后从第一个里面从大到小，从第二个里面从小到大
2. 一个排序，然后遍历另一个里面的数字，通过二分确定最大值。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 50
int n, m;
typedef long long ll;
ll g[N];//表示礼物的重量
ll ans = 0;
ll a[1 << 25];
int cnt = 0;//作为a的计数
void dfs_1(int u, int k, ll sum)
{
    if(u == k) {
        a[++cnt] = sum;
        return;
    }
    if(sum + g[u] <= m)
    {
        dfs_1(u+1, k, sum+g[u]);//选择这一个
    }
    dfs_1(u+1, k, sum);//不选择这一个
}
void dfs_2(int u, int k, ll sum)
{
    if(u == k) {
        int l = 1, r = cnt;
        while(l < r)
        {
            int mid = (l+r+1) >> 1;
            if(a[mid] + sum <= m) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        if(a[l] + sum > ans) ans = a[l] + sum;
        return;
    }
    if(sum+g[u] <= m) dfs_2(u+1, k, sum + g[u]);
    dfs_2(u+1, k, sum);
}
int main()
{
    cin >> m >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> g[i];
    }
    //cout << "ok";
    sort(g+1, g+1+n);
    reverse(g+1, g+1+n);//注意这里的这一个优化：从大到小进行搜索
    dfs_1(1, (n+1)/2, 0);
    sort(a+1, a+cnt+1);
    cnt = unique(a+1, a+cnt+1) - (a+1);
    dfs_2((n+1)/2, n+1, 0);
    cout << ans;
    return 0;
}