#3232. 「POI2019 R1」Najmniejsza wspólna wielokrotność

题目描述

题解

考虑到区间 $[l,r]$ 至少有两个数，我们可以知道 $lcm(l,r) \ge lcm(r-1,r)=(r-1)*r$ ，所以 $r \le 10^9$ 。且当区间只有两个数的时候，我们可以二分找到 $r$ 。

如果区间有三个数 $(l,l+1,l+2)$ 的话，我们需要分类一下：如果 $l$ 是奇数，我们可以得到 $gcd(l,l+1)=gcd(l,l+2)=gcd(l+1,l+2)=1$ ，因此这三个数的 $lcm$ 为 $l(l+1)(l+2)$ ，于是 $l \le 10^6$ 。如果 $l$ 是偶数的话，我们也可以得到 $2lcm=l(l+1)(l+2)$ ，所以对于区间有三个数的，我们可以二分找到 $l$ 。

对于区间有超过三个数的，我们可以预处理，枚举 $l$ ，然后再枚举 $r$ 直到 $[l,r]$ 的 $lcm>10^18$ ，对于每个 $l\in[1,10^6]$ 来说 $r-l$ 不会很大，因此我们可以直接枚举，用 $map$ 存储即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
int T=1e6;LL n;
map<LL,pair<int,int> >a;
LL gcd(LL a,LL b){return b?gcd(b,a%b):a;}
bool J1(){
    LL l=1,r=1e9;
    while(l<r){
        LL i=(l+r+1)/2;
        if (i*(i+1)>n) r=i-1;
        else l=i;
    }
    if (l*(l+1)==n){
        printf("%lld %lld\n",l,l+1);
        return 1;
    }
    return 0;
}
bool J2(int o){
    LL l=1,r=2e6;
    while(l<r){
        LL i=(l+r+1)/2;
        if (i*(i+1)*(i+2)>n) r=i-1;
        else l=i;
    }
    if (((int)l&1)!=o) return 0;
    if (l*(l+1)*(l+2)==n){
        printf("%lld %lld\n",l,l+2);
        return 1;
    }
    return 0;
}
void work(){
    scanf("%lld",&n);
    if (a.count(n)){
        printf("%d %d\n",a[n].first,a[n].second);
        return;
    }
    if (J1()) return;
    if (J2(1)) return;n*=2;
    if (J2(0)) return;puts("NIE");
}
int main(){
    for (int i=1;i<=T;i++){
        LL v=1ll*i*(i+1);
        for (LL j=i+2;;j++){
            v/=gcd(v,j);if (v>1e18/j) break;
            v*=j;if (!a.count(v)) a[v]=make_pair(i,j);
        }
    }
    for (cin>>T;T--;work());return 0;
}