bzoj4129 Haruna's Breakfast

题目描述

`Haruna`每天都会给提督做早餐！ 这天她发现早饭的食材被调皮的`Shimakaze`放到了一棵
树上，每个结点都有一样食材，`Shimakaze`要考验一下她。

每个食材都有一个美味度，`Shimakaze`会进行两种操作：

1、修改某个结点的食材的美味度；
2、对于某条链，询问这条链的美味度集合中，最小的未出现的自然数是多少。即 $\text{mex}$ 值。

请你帮帮`Haruna`吧。

题解

这里补一下带修莫队和树上莫队的坑。

如果这题放在序列上的话，即求一段区间的 $\text{mex}$ 值的话，那就可以带修莫队+对数字分块即可做到 $O(n^{\frac{5}{3}})$ 。于是补一下带修莫队。

带修莫队就是具有单点修改和区间询问的莫队，具体来说就是将询问设有三个关键字： $l$ 所在的块， $r$ 所在的块，上一个修改的时间点，按照这个顺序来排序。然后每次询问的时候再维护 $p$ 指针表示进行了几个修改操作即可。简略证明一下复杂度：设块的大小为 $B$ ，修改次数为 $c$ ，询问次数为 $q$ ，则对于 $p$ 指针来说，最坏移动 $O(\frac{cn^2}{B^2})$ 次，对于 $l$ 指针来说，最坏移动 $O(qB)$ 次(怎么感觉在写物理)，对于 $r$ 指针来说，最坏移动 $O(qB+\frac{n^2}{B})$ ，每次修改都是 $O(1)$ ，于是复杂度为 $O(\frac{cn^2}{B^2}+qB+\frac{n^2}{B})$ 。一般题目不会说 $c,q$ 大小姑且当做 $m$ ，然后一般 $n=m$ ，于是为 $O(\frac{n^3}{B^2}+nB+\frac{n^2}{B})$ ，当 $B$ 取 $n^{\frac{2}{3}}$ 时最优为 $O(n^{\frac{5}{3}})$ 。

所以我们不妨考虑一下怎么在树上莫队。

如何把一个序列表示成一棵树呢？ $\text{dfs}$ 序？no，这里是一种特殊的欧拉序，它是当访问到一个点的时候加入序列中，当它的子树都访问完的时候再加一次，所以这个序列总共有 $2n$ 个点（即树上每个节点都会被加入两次）。然后我们设 $st[x],ed[x]$ 表示 $x$ 的初始和结束两个位置。

对于询问 $x,y$ ，设 $st[x]<st[y]$ ，于是我们分讨一下：

1.若 $x$ 是 $y$ 的祖先，那对于 $[st[x],st[y]]$ 这段区间来说，只有 $(x,y)$ 这条链上的点会被加入一次，剩下的点都会被加入两次，所以我们只要维护一次的点即可。
2.若 $x$ 不是 $y$ 的祖先，则 $ed[x]<st[y]$ ，那对于 $[ed[x],st[y]]$ 这段区间来说， $(x,y)$ 这条链上只有 $lca$ 没有被加入，剩下的点都被加入一次，其它点都被加入两次，所以特判一下 $lca$ 即可。

这样就完成了树上莫队啦！效率为 $O(n^{\frac{5}{3}})$ 。

代码正在码中，反正bzoj挂了（其实我想先交上作业）