#2689. 异或树（tree）

题目描述

`LYK` 在森林里找到了一棵树。这棵树非常神奇，每条边都有其边权，每个点也有它的点权 $a_i$ 。我们令 $dis(i,j)$ 表示点 $i$ 与点 $j$ 之间的最短路的距离。

`LYK` 每次选择树上两个点 $x,y(x<y)$ ，它将会得到 $(a_x \wedge a_y)dis(x,y)$ 的金币(其中 $\wedge$ 表示异或)。它认为这个值太容易计算了，于是它想把所有关于 $x,y$ 的点对( $\frac{n(n-1)}{2}$ 对)能得到的金币都求出来，并计算它能得到的金币总和。

这时人群中跳出一个熊孩子来搞破坏，它每次会修改 `LYK` 的树中的某个点权。 `LYK` 想知道每次被搞破坏后它能得到的金币总和。

题解

考虑拆位，即我们计算每一位 $x$ 为 $0$ 且 $y$ 为 $1$ 的 $dis(x,y)$ 的总和。

看到 $dis$ 可以想到点分治，题目又有点类似强制在线，所以我们考虑动态点分，每个点分中心维护每一位为 $0/1$ 的个数和 $dis$ 的总和，记得在上一级的点分中心更新的时候要在这一级上进行容斥即可。

效率： $O(14(n+q)logn)$ 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=30005,N2=N<<1;
int n,a[N],hd[N],V[N2],nx[N2],W[N2],sz[N],son[N];
int f[N2][16],Lg[N2],c,d[N],e[N],up[N],o,rt,t,q;
bool vis[N];LL s1[2][14][N2],s2[2][14][N2],ans;
void add(int u,int v,int w){
    nx[++t]=hd[u];V[hd[u]=t]=v;W[t]=w;
}
void Sz(int u,int fr){
    sz[u]=1;
    for (int v,i=hd[u];i;i=nx[i])
        if (!vis[v=V[i]] && V[i]!=fr)
            Sz(v,u),sz[u]+=sz[v];
}
void Rt(int u,int fr){
    son[u]=o-sz[u];
    for (int v,i=hd[u];i;i=nx[i])
        if (!vis[v=V[i]] && V[i]!=fr)
            Rt(v,u),son[u]=max(son[u],sz[v]);
    if (son[rt]>son[u]) rt=u;
}
void work(int u,int fr){
    Sz(u,0);o=sz[u];rt=0;
    Rt(u,0);up[rt]=fr;vis[fr=rt]=1;
    for (int i=hd[rt];i;i=nx[i])
        if (!vis[V[i]]) work(V[i],fr);
}
void dfs(int u,int fr){
    f[e[u]=++c][0]=d[u];
    for (int i=hd[u],v;i;i=nx[i])
        if ((v=V[i])!=fr)
            d[v]=d[u]+W[i],
            dfs(v,u),f[++c][0]=d[u];
}
int lca(int l,int r){
    if (l>r) swap(l,r);int i=Lg[r-l+1];
    return min(f[l][i],f[r-(1<<i)+1][i]);
}
int dis(int u,int v){
    return d[u]+d[v]-(lca(e[u],e[v])<<1);
}
void Upd(int x,int u,int v){
    int y=dis(x,u>n?up[u-n]:u);
    for (int i=0;i<14;i++)
        s1[(a[x]>>i)&1][i][u]+=(1ll<<i)*v*y,
        s2[(a[x]>>i)&1][i][u]+=v;
}
void upd(int u,int v){
    Upd(u,u,v);
    for (int x=u;up[u];u=up[u])
        Upd(x,up[u],v),Upd(x,u+n,-v);
}
void Qry(int x,int u,int v){
    int y=dis(x,u>n?up[u-n]:u);
    for (int w,i=0;i<14;i++)
        w=(a[x]>>i)&1,
        ans+=(1ll<<i)*v*s2[!w][i][u]*y+s1[!w][i][u]*v;
}
void qry(int u,int v){
    Qry(u,u,v);
    for (int x=u;up[u];u=up[u])
        Qry(x,up[u],v),Qry(x,u+n,v);
}
int main(){
    cin>>n;son[0]=1e9;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for (int u,v,w,i=1;i<n;i++)
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),
        add(u,v,w),add(v,u,w);
    work(1,0);dfs(1,0);
    for (int i=2;i<=c;i++) Lg[i]=Lg[i>>1]+1;
    for (int i=c;i;i--)
        for (int j=1;i+(1<<j)<=c+1;j++)
            f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        qry(i,1),upd(i,1);cin>>q;
    for (int x,y;q--;)
        scanf("%d%d",&x,&y),upd(x,-1),qry(x,-1),
        a[x]=y,qry(x,1),upd(x,1),printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}