#1612. 天平(scales)

题目描述

你拥有一个天平，需要验证一个质量为 $n$ 的物品（不用遵守左物右码）。你只有质量为 $1,4,16,64,256...$ ( $4$ 的非负整数次幂)的砝码，每种有无数个。

你希望用最少的砝码称量出质量 $n$ ，并且只关心方案数模 $10^9$ 是多少。

题解

将题意转化一下，也就是考虑把 $n$ 拆分成 $4$ 的次幂相加减，使得用的数最少的方案数。故我们先把 $n$ 化成 $4$ 进制，因为存在借位的问题，所以应该是从低位到高位确定需要的个数，而且只借一次位更优，所以考虑从低位往高位 $\text{dp}$ ： $f[i][0/1][0/1]$ 表示到了第 $i$ 位，第 $i$ 位是否往前借位的最少数量以及最少数量下的方案数。

考虑转移：
$f[i][0][0]=min(f[i-1][0][0]+a[i],f[i-1][1][0]+a[i]+1)$ ；
$f[i][1][0]=min(f[i-1][0][0]+4-a[i],f[i-1][1][0]+3-a[i])$ 。

然后 $f[i][0/1][1]$ 就是看取 $\text{min}$ 的时候取小的那边的方案数，如果相等就相加。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5,P=1e9;
int n,a[N],X,Y=1;char ch[N];
struct O{int x,y;}f[2],g[2];
O M(int x,int y){
    O u=f[X],v=g[X];u.x+=x;v.x+=y;
    if (u.x<v.x) return u;
    if (u.x>v.x) return v;
    return (O){u.x,(u.y+v.y)%P};
}
int main(){
    scanf("%s",ch+1);n=strlen(ch+1);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=(ch[n-i+1]^48);
    f[0]=(O){0,1};g[0]=(O){P,0};
    while(n){
        a[0]=0;
        for (int i=n;i;i--)
            a[i-1]+=(a[i]&3)*10,
            a[i]>>=2;
        a[0]/=10;
        while(n && !a[n]) n--;
        f[Y]=M(a[0],a[0]+1);
        g[Y]=M(4-a[0],3-a[0]);
        X^=1;Y^=1;
    }
    cout<<M(0,1).y<<endl;return 0;
}