#4728. 问题求解

题目描述

求 $\sum\limits_{i=1}^n{(im\land m) \bmod (10^9+7)}$，其中 $\land$ 指按位与。

题解

哎我太蠢了一直往 $\text{dp}$ 的方向想。

下面的除法都是下取整（特殊的是上取整，会说明）（我不会打qwq）

考虑到当 $m$ 的第 $x$ 位为 $1$ 的时候，求有多少个 $i$ 使得 $im$ 的第 $x$ 位也为 $1$ ，那其实可以看成 $\frac{im}{2^x}$ 是奇数的个数，也就是 $\frac{im}{2^x}-2\times \frac{im}{2^{x+1}}$ ，这个值是 $0/1$ ，于是我们考虑快速求 $\sum_{i=0}^n\frac{im}{2^x}$ 。

get到新知识：类欧几里得！

我们可以设 $f(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^n\frac{ai+b}{c}$ ，然后我们分讨一下

1. $a=0$
那就是 $(n+1) \times \frac{b}{c}$
2. $a<c$ 且 $b<c$
我们可以推下式子：
$$f(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^n\frac{ai+b}{c}$$
$$=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^{\frac{ai+b}{c}-1}1$$
$$=\sum_{j=0}^{\frac{an+b}{c}-1}\sum_{i=0}^n[j<\frac{ai+b}{c}]$$
$$=\sum_{j=0}^{\frac{an+b}{c}-1}\sum_{i=0}^n[j<\frac{ai+b-c+1}{c}]$$
$☆$($\frac{ai+b-c+1}{c}$是上取整)
$$=\sum_{j=0}^{\frac{an+b}{c}-1}\sum_{i=0}^n[cj<ai+b-c+1]$$
$$=\sum_{j=0}^{\frac{an+b}{c}-1}n-\frac{cj+c-b-1}{a}$$
$$=n\times \frac{an+b}{c}-f(c,c-b-1,a,\frac{ai+b}{c}-1)$$
3. 剩下的情况
$$f(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^n\frac{ai+b}{c}$$
$$=\sum_{i=0}^n\frac{(a\%c)i+(b\%c)}{c}+i\times \frac{a}{c}+\frac{b}{c}$$
$$=f(a\%c,b\%c,c,n)+\frac{n(n+1)}{2}\frac{a}{c}+(n+1)\times \frac{b}{c}$$

于是这部分的效率就是 $log$ 的，所以总效率是 $O(log^2)$ 的

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int P=1e9+7;
LL n,m;int s;
int X(int x){return x>=P?x-P:x;}
int f(LL a,LL b,LL c,LL d){
    if (a==0) return (d+1)%P*((b/c)%P)%P;
    if (a<c && b<c){
        LL x=((__int128)a*d+b)/c;
        return X(d%P*(x%P)%P-f(c,c-b-1,a,x-1)+P);
    }
    return X(X(f(a%c,b%c,c,d)+d%P*((d+1)%P)%P*((P+1)>>1)%P*((a/c)%P)%P)+(d+1)%P*((b/c)%P)%P);
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for (int u,v=0,i=39;~i;i--){
        u=v;v=f(m,0,1ll<<i,n);
        if (m&(1ll<<i))
            s=X(s+1ll*X(v-X(u+u)+P)*((1ll<<i)%P)%P);
    }
    cout<<s<<endl;return 0;
}