#4713. 方程

题目描述

题解

考虑最高位 $k$ ，如果 $m_i$第 $k$ 位为 $1$ ，且 $x_i$ 第 $k$ 位为 $0$ 的话，那其他的 $x$ 可以取任意值，因为 $x_i$ 可以取到 $[0,2^k)$ 的任意一个数，所以可以调整一下，据此我们可以列出dp： $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数，有 $j$ 个数第 $k$ 位为 $1$ ，可以得到方程的解的组数，那如果 $m_i$为 $1$ 的话可以列出转移式子 $f_{i,j}=f_{i-1,j} \times 2^k+f_{i-1,j-1} \times (m_i-2^k+1)$ ，最后要记得除以 $2^k$ 因为其他数确定了，这个数也就确定了，所以只有 $\times 1$ 的贡献，然后继续递归即可

效率： $O(30Tn^2)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int P=1e9+7;
int n,m,a[55],f[55][55],w[55];
int solve(int x){
    if (x<0) return 1;
    f[0][0]=1;int u=0,v=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        if (a[i]&(1<<x)){
            u++;f[u][0]=1ll*f[u-1][0]*(1<<x)%P;
            for (int j=1;j<=u;j++)
                (f[u][j]+=(1ll*f[u-1][j]*(1<<x)%P+1ll*f[u-1][j-1]*((a[i]&((1<<x)-1))+1)%P)%P)%=P;
        }
        else for (int j=0;j<=u;j++) f[u][j]=1ll*f[u][j]*((a[i]&((1<<x)-1))+1)%P;
    for (int i=0;i<u;i++)
        if ((i&1)==((m>>x)&1))
            (v+=1ll*f[u][i]*w[x]%P)%=P;
    for (int i=0;i<=u;i++)
        for (int j=0;j<=u;j++) f[i][j]=0;
    if ((u&1)==((m>>x)&1))
        return (v+solve(x-1))%P;
    return v;
}
int main(){
    w[0]=1;w[1]=(P+1)>>1;
    for (int i=2;i<55;i++)
        w[i]=1ll*w[i-1]*w[1]%P;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        for (int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        printf("%d\n",solve(30));
    }
    return 0;
}