bzoj5019 [Snoi2017]遗失的答案

题目描述

题解

考虑把 $n/$$G$ 和 $L/$$G$ 得到新的 $n,L$ ，现在问题就是从 $[1,n]$ 中选出若干个数使得 $gcd=1,lcm=L$

考虑到 $\le 10^8$ 的数最多分解出 $8$ 个质因子，我们设一个数的状态 $(s1,s2)$ 的第 $i$ 位表示第 $i$ 个质因子是否是最低次幂和是否是最高次幂，于是我们直接爆搜出 $L$ 的约数，然后得到每个状态的个数，发现有用的状态不会超过 $600$ 个，于是我们可以考虑状态之间 $dp$ ，转移显然

考虑一个数必选，那也就是剩下的 $dp$ 转移方式是一样的，如果我们能快速得到剩下状态的 $dp$ 值的话那就把这个数代表的状态 $u$ 转移进去就好了，具体实现就是设 $f,g$ 表示 $1-i$ 和 $i-m$ 的 $dp$ 值，于是我们就可以提取两个数组，他们俩之间的转移就直接用 $fwt_{or}$ 转移即可，然后我们得到最终 $dp$ 数组 $F$ ，那现在如果 $x|u$ 是全集的话就可以贡献答案，那对于 $u$ 来说就是 $x$ 的补集的超集，列出式子发现就是 $fwt_{and}$ 的形式，于是我们对 $F$ 再进行 $fwt_{and}$即可

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=605,M=1<<16,P=1e9+7;
int n,G,L,Q,A,a[10],b[10],c,t[M],s[N],S,f[N][M],g[N][M];
int X(int x){return x>=P?x-P:x;}
int K(int x,int y){
    int z=1;
    for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P)
        if (y&1) z=1ll*z*x%P;
    return z;
}
void dfs(int x,int v,int s1,int s2){
    if (x>c){t[s1|(s2<<c)]++;return;}
    for (int u=v,i=0;i<=b[x];i++){
        dfs(x+1,u,s1|((i==0)<<(x-1)),s2|((i==b[x])<<(x-1)));
        if (1ll*u*a[x]>n) return;u*=a[x];
    }
}
void init(){
    int v=L;
    for (int i=2;i*i<=v;i++)
        if (v%i==0){
            a[++c]=i;
            while(v%i==0)
                v/=i,b[c]++;
        }
    if (v>1) a[++c]=v,b[c]=1;
    dfs(1,1,0,0);
}
void Fwt(int *a,int o){
    for (int i=1;i<A;i<<=1)
        for (int j=0;j<A;j+=(i<<1))
            for (int k=0;k<i;k++)
                if (o) a[i+j+k]=X(a[i+j+k]+a[j+k]);
                else a[i+j+k]=X(a[i+j+k]-a[j+k]+P);
}
void fwt(int *a){
    for (int i=1;i<A;i<<=1)
        for (int j=0;j<A;j+=(i<<1))
            for (int k=0;k<i;k++)
                a[j+k]=X(a[i+j+k]+a[j+k]);
}
int get(int x){
    int u=0;
    for (int v,i=1;i<=c;i++){
        v=0;
        while(x%a[i]==0) v++,x/=a[i];
        if (v==0) u|=(1<<(i-1));
        if (v==b[i]) u|=(1<<(i-1+c));
    }
    return u;
}
int main(){
    cin>>n>>G>>L>>Q;
    if (L%G){
        for (;Q--;) puts("0");
        return 0;
    }
    n/=G;L/=G;init();A=(1<<(c+c));
    for (int i=0;i<A;i++)
        if (t[i]) s[++S]=i,t[i]=K(2,t[i])-1;
    f[0][0]=g[S+1][0]=1;
    for (int i=1;i<=S;i++){
        for (int j=0;j<A;j++) f[i][j]=f[i-1][j];
        for (int j=0;j<A;j++)
            f[i][j|s[i]]=X(f[i][j|s[i]]+1ll*f[i-1][j]*t[s[i]]%P);
    }
    for (int i=S;i;i--){
        for (int j=0;j<A;j++) g[i][j]=g[i+1][j];
        for (int j=0;j<A;j++)
            g[i][j|s[i]]=X(g[i][j|s[i]]+1ll*g[i+1][j]*t[s[i]]%P);
    }
    for (int i=0;i<=S;i++) Fwt(f[i],1);
    for (int i=1;i<=S+1;i++) Fwt(g[i],1);
    for (int i=0;i<S;i++)
        for (int j=0;j<A;j++)
            f[i][j]=1ll*f[i][j]*g[i+2][j]%P;
    for (int i=0;i<S;i++) Fwt(f[i],0),fwt(f[i]);
    for (int x,u,y;Q--;){
        scanf("%d",&x);
        if (x%G){puts("0");continue;}x/=G;
        if (L%x || x>n){puts("0");continue;}
        u=get(x);y=lower_bound(s+1,s+S+1,u)-s;
        printf("%lld\n",1ll*f[y-1][(A-1)^u]*(t[u]+1)%P*((P+1)>>1)%P);
    }
    return 0;
}