bzoj2137 submultiple

题目描述

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2137

题解

推一下式子，发现答案为$$\prod_{i=1}^n\sum_{j=1}^{p_i+1}j^k$$

考虑到当 $p_i \le 10^5$ 时，可以直接暴力算出答案，效率： $O(max \times logP+n)$

当 $p_i$ 很大的时候，发现 $n$ 和 $k$ 都很小，考虑化式子$$\prod_{i=1}^n\sum_{j=1}^{p_i+1}\sum_{x=1}^kS(k,x)(_x^j)x!$$
把 $j$ 放后面，得$$\prod_{i=1}^n\sum_{x=1}^kS(k,x)x!\sum_{j=1}^{p_i+1}(_x^j)$$
后面那一项用组合数的几何意义即可，效率： $O(nk^2)$

(我是不是写了不属于我的专题，它原来标签是拉格朗日插值来着qwq)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int P=1e9+7,N=1e5+2;
int n,f[N],s[15][15],k;
LL p[N],m;
int X(int x){return x>=P?x-P:x;}
int K(int x,int y){
    int z=1;
    for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P)
        if (y&1) z=1ll*z*x%P;
    return z;
}
void W1(){
    for (int i=1;i<=m+1;i++)
        f[i]=X(f[i-1]+K(i,k));
    int v=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        v=1ll*v*f[p[i]+1]%P;
    printf("%d\n",v);
}
int C(int x,int y){
    int u=1,v=1;
    for (int i=1;i<=y;i++)
        u=1ll*u*X(x-i+1+P)%P,
        v=1ll*i*v%P;
    return 1ll*u*K(v,P-2)%P;
}
void W2(){
    s[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=k;i++)
        for (int j=1;j<=i;j++)
            s[i][j]=X(s[i-1][j-1]+1ll*s[i-1][j]*j%P);
    int v=1;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        int x=0,y=1;
        for (int j=1;j<=k;j++){
            if (p[i]<j-1) break;y=1ll*j*y%P;
            x=X(x+1ll*s[k][j]*y%P*C(X(p[i]%P+2),j+1)%P);
        }
        v=1ll*v*x%P;
    }
    printf("%d\n",v);
}
int main(){
    cin>>n>>k;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&p[i]),m=max(m,p[i]);
    if (m+1<N) return W1(),0;
    return W2(),0;
}