#4614. problem B

题目描述

有两个点集 $S,T$ ， $\quad \forall x \in S, y \in T$ ， $x,y$ 之间有 $\frac{1}{2}$ 概率存在一条边。

现在任意从 $S,T$ 中各随机挑选一个点，问这两个点之间的期望距离。

若不连通，则距离为 $0$

输出期望距离在模 $P$ 域下的值，保证 $P$ 是质数。

数据范围

对于 $100\%$ 的数据，保证 $1 \le n,m \le 100, 772001 \le p \le 1000000007$ ,保证p为质数。

题解

考场自闭题。

暴力的话可以看作从 $S$ 中的 $1$ 号点走到 $T$ 中的 $1$ 号点的最短路总和/方案数，即对于每一种方案去 $bfs$ 一遍。

考虑 $bfs$ 的过程，因为是二分图，所以第 $i$ 层的点只会和第 $i-1$ 层的点有连边。

所以用 $dp$ 模拟 $bfs$ 的过程，设 $f_{i,j,k,0/1}$ 表示 $S$ 中选了 $i$ 个点， $T$ 中选了 $j$ 个点，最后一层有 $k$ 个点，这 $k$ 个点是 $S/T$ 集合的方案数， $g$ 是所有方案的最深深度的总和。

转移的时候判断一下选不选 $T$ 中的 $1$ 号点，顺便统计答案即可。

效率： $O(n^4)$ ，注意卡常。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; const int N=105;
int n,m,P,f[N][N][N][2],g[N][N][N][2],p[N][N],c[N][N],s,h[N*N],d[N][N][N][2];
inline int X(int x){return x>=P?x-P:x;}
int K(int x,int y){
    int z=1;
    for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P)
        if (y&1) z=1ll*z*x%P;
    return z;
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&P);if (n<m) swap(n,m);
    c[0][0]=f[1][0][1][0]=h[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        c[i][0]=1;
        for (int j=1;j<=i;j++)
            c[i][j]=X(c[i-1][j-1]+c[i-1][j]);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++){
        p[i][1]=X(X(p[i-1][1]<<1)+1);
        for (int j=2;j<=n;j++)
            p[i][j]=1ll*p[i][j-1]*p[i][1]%P;
    }
    for (int i=0;i<=n;i++)
        for (int j=0;j<=n;j++)
            for (int k=0;k<=n;k++)
                d[i][j][k][0]=1ll*c[i][k]*p[j][k]%P,
                d[i][j][k][1]=1ll*c[i][k]*p[j][k+1]%P;
    for (int i=1;i<=n*m;i++) h[i]=X(h[i-1]<<1);m--;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=0;j<=m;j++){
            for (int w,k=1;k<=i;++k){
                w=p[k][1];
                for (int x=1;x+j<=m;++x)
                    w=X(w+d[m-j][k][x][1]),
                    f[i][j+x][x][1]=X(f[i][j+x][x][1]+1ll*d[m-j][k][x][0]*f[i][j][k][0]%P),
                    g[i][j+x][x][1]=X(g[i][j+x][x][1]+1ll*d[m-j][k][x][0]*(g[i][j][k][0]+f[i][j][k][0])%P);
                s=X(s+1ll*w*h[(n-i)*(m-j+1)]%P*(g[i][j][k][0]+f[i][j][k][0])%P);
            }
            for (int k=1;k<=j;++k)
                for (int x=1;x+i<=n;++x)
                    f[i+x][j][x][0]=X(f[i+x][j][x][0]+1ll*d[n-i][k][x][0]*f[i][j][k][1]%P),
                    g[i+x][j][x][0]=X(g[i+x][j][x][0]+1ll*d[n-i][k][x][0]*(g[i][j][k][1]+f[i][j][k][1])%P);
        }
    printf("%lld\n",1ll*s*K(h[n*(m+1)],P-2)%P);return 0;
}