「JSOI2016」位运算

题目描述

JYY 最近在研究位运算。他发现位运算中最有趣的就是异或 *(xor)* 运算。对于两个数的异或运算，JYY 发现了一个结论：两个数的异或值为 $0$ 当且仅当他们相等。于是 JYY 又开始思考，对于 $N$ 个数的异或值会有什么性质呢？

JYY 想知道，如果在 $0$ 到 $R-1$ 的范围内，选出 $N$ 个不同的整数，并使得这 $N$ 个整数的异或值为 $0$，那么一共有多少种选择的方法呢？（选择的不同次序并不作重复统计，请参见样例）

JYY 是一个计算机科学家，所以他脑海里的 $R$ 非常非常大。为了能够方便的表达，如果我们将 $R$ 写成一个 $01$ 串，那么 $R$ 是由一个较短的 $01$ 串 $S$ 重复 $K$ 次得到的。比如，若 $S=101,K=2$，那么 $R$ 的二进制表示则为 $101101$。由于计算的结果会非常大，JYY 只需要你告诉他选择的总数对 $10^9+7$ 取模的结果即可。

数据范围

$3\le N\le 7,1\le k\le 10^5,1\le |S|\le 50$

题解

考虑到选出的数 $x_i$ 不同， $n$ 又很小，所以考虑状压， $f_{i,s}$ 表示前 $i$ 位，第 $j$ 位状态表示 $x_j$ 小于或等于 $x_{j+1}$ ，特殊的，我们设 $x_{n+1}=R$ 。

可以发现对于每个复读的串状态转移路径是相同的，于是矩乘即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=130,P=1e9+7;
int n,k,m,a[N],al,f[N][N];
char ch[N];bool c[N];
struct Mat{int p[N][N];}F,G,V;
int X(int x){if (x>=P) x-=P;return x;}
int work(int l,int r,int x){
    int v=0;
    for (int y,z,j=1;j<n;j++)
        if (l&(1<<j)){
            y=(r>>j)&1;z=(r>>(j-1))&1;
            if (y>z) return -1;
            if (y==z) v|=(1<<j);
        }
    if (l&1){
        if ((r&1)>a[x]) return -1;
        if ((r&1)==a[x]) v|=1;
    }
    return v;
}
Mat C(Mat A,Mat B){
    for (int i=0;i<al;i++)
        for (int j=0;j<al;j++){
            V.p[i][j]=0;
            for (int k=0;k<al;k++)
                V.p[i][j]=X(V.p[i][j]+1ll*A.p[i][k]*B.p[k][j]%P);
        }
    return V;
}
int main(){
    scanf("%d%d%s",&n,&k,ch+1);m=strlen(ch+1);
    for (int i=1;i<=m;i++) a[i]=ch[i]^48;al=1<<n;c[0]=1;
    for (int s=1;s<al;s++) c[s]=(!c[s-(s&-s)]);
    for (int s=0;s<al;s++){
        for (int i=0;i<=m;i++)
            for (int j=0;j<al;j++)
                f[i][j]=0;
        f[0][s]=1;
        for (int i=1,j;i<=m;i++)
            for (int l=0;l<al;l++) if (f[i-1][l])
                for (int r=0;r<al;r++) if (c[r])
                    if (~(j=work(l,r,i)))
                        f[i][j]=X(f[i][j]+f[i-1][l]);
        for (int i=0;i<al;i++)
            F.p[i][s]=f[m][i];
    }
    for (int i=0;i<al;i++) G.p[i][i]=1;
    for (;k;k>>=1,F=C(F,F)) if (k&1) G=C(G,F);
    printf("%d\n",G.p[0][al-1]);
    return 0;
}