Processing math: 0%

#3391. big

题目描述

你需要在 [ 0,2^n ) 中选一个整数 x,接着把 x 依次异或 m 个整数 a_1 \sim a_m

在你选出 x 后,你的对手需要选择恰好一个时刻(刚选完数时、异或一些数后或是最后),将 x 变为 (\lfloor \frac{2x}{2^n} \rfloor + 2x )\mod 2^n

你想使 x 最后尽量大,而你的对手会使 x 最后尽量小。

你需要求出 x 最后的最大值,以及得到最大值的初值数量。

数据范围

n\le 30 , m\le 100000, 0 \leq a_i < 2^n

题解

很妙的一道题

考虑那个奇妙操作,手画一下发现就是把最高位移到最后

然后假设 x 在前 i 个数 (0 \le i \le m) 后做了得到了 x ⊕ s_i ,然后经过这个操作得到了 y ,考虑到异或是按位异或,所以如果我们先把 xs_i 先通过这个操作得到 x's_i' ,那 x' ⊕ s_i'=y

于是我们可以先把 s'_i ⊕ (s_m ⊕ s_i) 建立棵 trie ,在 trie 上寻找最优解即可

效率 O(nm)

代码

复制代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,m,s,t=1,a[N],ch[N*30][2];
void ins(int x){
    for (int p=1,v,j=n-1;~j;j--){
        v=(x>>j)&1;
        if (!ch[p][v]) ch[p][v]=++t;
        p=ch[p][v];
    }
}
void dfs(int x,int y,int d){
    if (!ch[x][0] && !ch[x][1]){
        if (y>s) s=y,t=0;t+=(s==y);return;
    }
    if (!ch[x][0] || !ch[x][1]) dfs(ch[x][!ch[x][0]],y|(1<<d),d-1);
    else dfs(ch[x][0],y,d-1),dfs(ch[x][1],y,d-1);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d",&a[i]),s^=a[i];ins(s);
    for (int i=1;i<=m;i++){
        s^=a[i];
        a[i]=((a[i]<<1)&((1<<n)-1))|(a[i]>>(n-1));
        s^=a[i];ins(s);
    }
    s=t=0;dfs(1,0,n-1);printf("%d\n%d\n",s,t);
    return 0;
}
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