#2768. 圆圈游戏（circle）

题目描述
在无聊的时候，小K和小H会在纸上玩这样一个游戏。

我们可以将纸看做一个平面直角坐标系。小H会先在上面画出 $n$ 个圆，并把每个圆的圆心以及半径都告诉小K。小H画的 $n$ 个圆中，任意两个圆不会出现相交或相切的情况。小K需要做的就是从这 $n$ 个圆中选出若干个圆，使得选出的任意一个圆都不被另一个选出的圆包含。游戏的目标就是要选出尽量多的圆。

游戏一次一次进行着，小K已经对游戏的规则感到了厌倦，所以他决定修改游戏的规则。对于第 $i$ 个圆，我们定义它的价值为 $w_i$ 。新的游戏目标是使得选出的圆价值和最大（不一定数量最多）。但是圆圈可能很多，或者圆圈的分布非常奇怪，或者小K还有别的事情要做。所以他只好拜托你来帮他求出这个最大值了。

数据范围
$n \le 100000,1 \le x_i,y_i,r_i \le 10^8,1 \le w_i \le 1000$。

保证不存在相交或相切的两个圆。

题解
暴力就 $n^2$ 判断，建树做 $dp$ ，于是考虑优化建树过程

考虑扫描线，维护一些上圆弧和下圆弧，使得它们以纵坐标排序

然后每次新增加一个圆，只要看它上圆弧的上一条圆弧，如果上一条是上圆弧，则它被上一条圆弧所在圆包含，若是下圆弧，则他俩被包含情况是一样的

可以用 $set$ 维护

效率： $O(n\ logn)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define eps 1e-5
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,hd[N],V[N],nx[N],t,a[N],w[N],X,f[N];
struct O{int d,x,y,r,i,o;}p[N<<1];
double S(int x){return 1.*x*x;}
struct M{
    int x,y,r,d,i;
    friend bool operator < (const M& A,const M& B){
        return 1.*A.d*(sqrt(S(A.r)-S(A.x-X))+eps)+1.*A.y>1.*B.d*(sqrt(S(B.r)-S(B.x-X))+eps)+1.*B.y;
    }
}g;
set<M>s;set<M>::iterator it;
bool cmp(O A,O B){
    return A.d<B.d || (A.d==B.d && A.o>B.o);
}
void add(int u,int v){
    nx[++t]=hd[u];f[V[hd[u]=t]=v]=u;
}
void dfs(int x){
    for (int i=hd[x];i;i=nx[i])
        dfs(V[i]),w[x]+=w[V[i]];
    w[x]=max(w[x],a[x]);
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for (int x,y,r,i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&r,&a[i]);
        p[++t]=(O){x-r,x,y,r,i,0};
        p[++t]=(O){x+r,x,y,r,i,1};
    }
    sort(p+1,p+t+1,cmp);t=0;
    for (int i=1;i<=n+n;i++){
        X=p[i].d;
        if (p[i].o){
            s.erase(s.find((M){p[i].x,p[i].y,p[i].r,1,p[i].i}));
            s.erase(s.find((M){p[i].x,p[i].y,p[i].r,-1,p[i].i}));
        }
        else{
            s.insert((M){p[i].x,p[i].y,p[i].r,1,p[i].i});
            s.insert((M){p[i].x,p[i].y,p[i].r,-1,p[i].i});
            it=s.find((M){p[i].x,p[i].y,p[i].r,1,p[i].i});
            if (it!=s.begin()){
                it--;g=*it;
                if (~g.d) add(g.i,p[i].i);
                else add(f[g.i],p[i].i);
            }
            else add(0,p[i].i);
        }
    }
    return dfs(0),printf("%d\n",w[0]),0;
}