#4349. 「十二省联考 2019」异或粽子

题意
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小粽是一个喜欢吃粽子的好孩子。今天她在家里自己做起了粽子。

小粽面前有 $n$ 种互不相同的粽子馅儿，小粽将它们摆放为了一排，并从左至右编号为 $1$ 到 $n$。第 $i$ 种馅儿具有一个非负整数的属性值 $a_i$。每种馅儿的数量都足够多，即小粽不会因为缺少原料而做不出想要的粽子。小粽准备用这些馅儿来做出 $k$ 个粽子。

小粽的做法是：选两个整数数 $l,r$，满足 $1\le l\le r\le n$，将编号在 $[l,r]$ 范围内的所有馅儿混合做成一个粽子，所得的粽子的美味度为这些粽子的属性值的**异或**和。（异或就是我们常说的 $\mathrm{xor}$ 运算，即 C/C++ 中的 `^` 运算符或 Pascal 中的 `xor` 运算符）

小粽想品尝不同口味的粽子，因此它不希望用同样的馅儿的集合做出一个以上的粽子。

小粽希望她做出的所有粽子的美味度之和最大。请你帮她求出这个值吧！

$1\le n \le 5 \times 10^{5},1\le k\le \min\left\{\frac{n(n-1)}{2},2 \times 10^{5}\right\},0\le a_i \le 4,294,967,295$
题解

把 $a_i$ 变成前缀异或和，所以实际上是在 $[0,n]$ 中选 $k$ 对 $(x,y)$ 使 $\sum a_x \oplus a_y$ 最大

考虑到 $k$ 不是很大，我们可以建立堆，一开始把每个数选到最大的数丢到堆中，然后以异或值作为关键字排序，每次取出堆顶，然后找其第二大异或值丢到堆中……

所以可以发现我们需要查询对于 $i$ ， $j \in [0,i-1]$ 的 $a_i \oplus a_j$ 第 $k$ 大数是多少

所以可以建立可持久化 $trie$ 树，在 $trie$ 树上进行二分即可

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define I inline
#define LL long long
using namespace std;
const int N=5e5+5;
int n,K,T[N],tt;LL a[N],ans;
struct O{int s,ch[2];}t[N<<6];
struct Q{
    int x,k;LL v;
    I friend bool operator < (const Q& A,const Q& B){
        return A.v<B.v;
    }
};priority_queue<Q>q;
I void ins(int& x,LL v,int d){
    t[++tt]=t[x];x=tt;t[x].s++;
    if (~d) ins(t[x].ch[(v>>d)&1ll],v,d-1);
}
I LL query(int x,LL y,int k,int d){
    if (!~d) return 0;
    bool v=(y>>d)&1ll;
    int s=t[t[x].ch[v^1]].s;
    if (k<=s) return query(t[x].ch[v^1],y,k,d-1)|(1ll<<d);
    return query(t[x].ch[v],y,k-s,d-1);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&K);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&a[i]),a[i]^=a[i-1],
        ins(T[i]=T[i-1],a[i-1],31),
        q.push((Q){i,1,query(T[i],a[i],1,31)});
    for (int i=1;i<=K;i++){
        Q y=q.top();q.pop();ans+=y.v;
        if (y.k<=y.x) q.push((Q){y.x,y.k+1,query(T[y.x],a[y.x],y.k+1,31)});
    }
    return printf("%lld\n",ans),0;
}