深入浅出统计学读书笔记:离散概率分布的应用
概率可以得知发生某件事情的可能性大小,但无法指出整体影响,比如赚到的钱真的填的平那些亏掉的钱吗
概率分布如下表:
组合 | 无 | 柠檬 | 樱桃 | 美元/樱桃 | 美元 |
x | -1 | 4 | 9 | 14 | 19 |
P(X=x) | 0.977 | 0.008 | 0.008 | 0.006 | 0.001 |
期望E(X) = -0.77 ,指出每一局赌局能够期望得到的平均收益
方差Var(X) = E(X - μ)2 = ∑(x - μ)2P(X = x) = 2.6971,体现出每一局赌局有可能存在的收益变化
标准差为方差的平方根,度量数据与数据中心的期望距离,标准差 = 1.642,表示从平均情况看来,我们的每一局收益与期望收益之间的距离为1.642
现在原先的概率分布变了,赌金改为2元,赢金翻了5倍,新概率分布如下:
y | -2 | 23 | 48 | 73 | 98 |
P(Y = y) | 0.977 | 0.008 | 0.008 | 0.006 | 0.001 |
E(Y) = -0.85
Var(Y) = 67.4275
现收益 Y = 5X + 3
线性变换推广:
E(aX + b) = aE(X) + b
Var(aX + b) = a2 Var(X)
多玩几局:
每一局称为一个事件,每一局的结果称为一个观测值
我们把第一个观测值称为X1,第二个观测值称为X2
求两局的期望和方差,即求 X1 + X2 的期望和方差
独立同分布观测值推广:
E(X1 + X2 + ... Xn) = nE(X)
Var(X1 + X2 + ... Xn) = nVar(X)
在两台机器上玩:
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)
独立不同分布推广:
随机变量相减
E(X - Y) = E(X) - E(Y)
Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y) 这是因为差异性增大了
最终结论,在X与Y相互独立时:
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
Var(aX + bY) = a2 Var(X) + b2 Var(Y)
E(aX - bY) = aE(X) - bE(Y)
Var(aX - bY) = a2 Var(X) + b2 Var(Y)
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