深入浅出统计学读书笔记:离散概率分布的应用

概率可以得知发生某件事情的可能性大小,但无法指出整体影响,比如赚到的钱真的填的平那些亏掉的钱吗

概率分布如下表:

组合 柠檬 樱桃 美元/樱桃 美元
x -1 4 9 14 19
P(X=x) 0.977 0.008 0.008 0.006 0.001

 

 

 

期望E(X) = -0.77 ,指出每一局赌局能够期望得到的平均收益

方差Var(X) = E(X - μ)2  = ∑(x - μ)2P(X = x)  = 2.6971,体现出每一局赌局有可能存在的收益变化

标准差为方差的平方根,度量数据与数据中心的期望距离,标准差 = 1.642,表示从平均情况看来,我们的每一局收益与期望收益之间的距离为1.642

 

现在原先的概率分布变了,赌金改为2元,赢金翻了5倍,新概率分布如下:

y -2 23 48 73 98
P(Y = y) 0.977 0.008 0.008 0.006 0.001

 

 

E(Y) = -0.85

Var(Y) = 67.4275

现收益 Y = 5X + 3

 

线性变换推广:

E(aX + b) = aE(X) + b

Var(aX + b) = a2 Var(X)

 

多玩几局:

每一局称为一个事件,每一局的结果称为一个观测值

我们把第一个观测值称为X1,第二个观测值称为X2

求两局的期望和方差,即求  X1 +  X2  的期望和方差

 

独立同分布观测值推广:

E(X1 + X2 + ... Xn) = nE(X)

Var(X1 + X2 + ... Xn) = nVar(X)

 

在两台机器上玩:

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

独立不同分布推广:

随机变量相减

E(X - Y) = E(X) - E(Y)

Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y)  这是因为差异性增大了

 

最终结论,在X与Y相互独立时:

E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) 

Var(aX + bY) = a2 Var(X) + b2 Var(Y)

E(aX - bY) = aE(X) - bE(Y) 

Var(aX - bY) = a2 Var(X) + b2 Var(Y)

 

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