『学习笔记』可持久化线段树（主席树）

主席树的最基础的操作就是查询历史版本区间第 \(k\) 大，带修。

这个问题的基础解决思路：对于每次修改都建一棵权值线段树，显然空间开不下。

这时可持久化线段树的思路就应运而生了。

主要思想：

不难发现，每次修改只会有一条链上的值发生改变，所以我们不需要建出整棵新树，只需要把新建那条链上的点即可。

所以空间就是 \(n\log n\) 的。

我们还要在权值线段树上做个前缀和来方便查询，每次查询时，就是在权值线段树上二分的过程。

注意到我们要建的是权值线段树，所以要对输入的值做一个离散化。

不多说了，直接贴代码吧。

\(code:\)

#include <bits/stdc++.h>
#define uint unsigned int
#define ls(x) t[x].l
#define rs(x) t[x].r

using namespace std;

namespace IO{
    inline int read(){
        int x = 0, f = 1;
        char ch = getchar();
        while(!isdigit(ch)) {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
        while(isdigit(ch)) x = (x << 3) + (x << 1) + ch - '0', ch = getchar();
        return x * f;
    }

    inline char readc(){
        char ch = getchar();
        while(ch < 'a' || ch > 'z') ch = getchar();
        return ch;
    }

    template <typename T> inline void write(T x){
        if(x > 9) write(x / 10);
        putchar(x % 10 + '0');
    }
}
using namespace IO;

const int N = 2e5 + 10;
int n, m, cnt;
int a[N], b[N];
struct Tree{
    int rt, sum, l, r;
    Tree() {sum = 0;}
}t[N << 5];

inline int build(int l, int r){
    int rt = ++cnt;
    if(l == r) return rt;
    int mid = (l + r) >> 1;
    ls(rt) = build(l, mid);
    rs(rt) = build(mid + 1, r);
    return rt;
}

inline int update(int pre, int l, int r, int x){
    int rt = ++cnt;
    ls(rt) = ls(pre), rs(rt) = rs(pre), t[rt].sum = t[pre].sum + 1;
    if(l == r) return rt;
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(x <= mid) ls(rt) = update(ls(pre), l, mid, x);
    else rs(rt) = update(rs(pre), mid + 1, r, x);
    return rt;
}

inline int query(int L, int R, int k, int l, int r){
    if(l == r) return l;
    int res = t[ls(R)].sum - t[ls(L)].sum;
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(res >= k) return query(ls(L), ls(R), k, l, mid);
    else return query(rs(L), rs(R), k - res, mid + 1, r);
}

int main(){
    n = read(), m = read();
    for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read(), b[i] = a[i];
    sort(b + 1, b + 1 + n);
    int tot = unique(b + 1, b + 1 + n) - b - 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        a[i] = lower_bound(b + 1, b + 1 + tot, a[i]) - b;
    t[0].rt = build(1, tot);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) t[i].rt = update(t[i - 1].rt, 1, tot, a[i]);
    while(m--){
        int l = read(), r = read(), k = read();
        write(b[query(t[l - 1].rt, t[r].rt, k, 1, tot)]), puts("");
    }
    return 0;
}

\[\_EOF\_ \]