洛谷 P5336 [THUSC2016]成绩单

Description

洛谷传送门

Solution

区间dp

状态定义

根据套路，我们定义 \(dp[i][j]\) 表示取走区间 \([i, j]\) 的最小花费。

但是只有区间范围似乎并不好转移，因为我们也不知道区间最大值以及最小值是多少。

所以我们再定义一个 \(f[i][j][x][y]\) 数组，表示区间 \([i, j]\) 中所有数在区间 \([x, y]\)时，需要的最小花费。

注意：这里 \(f[i][j][x][y]\) 中不一定 \([i, j]\) 中的最小值和最大值就是 \(x\) 和 \(y\)。

转移

这里还要进行分类讨论：

1. 直接合并 \(j\) 和 \([i, j - 1]\) 或合并 \(i\) 和 \([i + 1, j]\)，那么转移方程就是

f[i][j][min(x, a[j])][max(y, a[j])] = min(f[i][j][min(x, a[j])][max(y, a[j])], f[i][j - 1][x][y]);
f[i][j][min(x, a[i])][max(y, a[i])] = min(f[i][j][min(x, a[i])][max(y, a[i])], f[i + 1][j][x][y]);

2. 枚举断点 \(k\)，先把 \([i, k]\) 合并好之后再和 \([k + 1, j]\) 合并（此时 \([k + 1, j]\) 还没有合并），或先把 \([k + 1, j]\) 合并好之后再和 \([i, k]\) 合并（同理）。

for(ll k = i; k < j; k++)
	f[i][j][x][y] = min(f[i][j][x][y], min(f[i][k][x][y] + dp[k + 1][j], f[k + 1][j][x][y] + dp[i][k]));

不过好像只转移同一个方向的就够了，不知道为什么 \(QwQ\)。

注意开 \(long \ long\)，以及要先进行离散化。

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define ll long long

using namespace std;

const ll N = 55;
ll n, A, B;
ll a[N], b[N];
ll f[N][N][N][N], dp[N][N];

signed main(){
	scanf("%lld%lld%lld", &n, &A, &B);
	for(ll i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%lld", &a[i]), b[i] = a[i];
	sort(b + 1, b + 1 + n);
	ll tot = unique(b + 1, b + 1 + n) - b - 1;
	memset(f, 0x3f, sizeof(f));
	memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
	for(ll i = 1; i <= n; i++){
		a[i] = lower_bound(b + 1, b + 1 + tot, a[i]) - b;
		f[i][i][a[i]][a[i]] = 0;
		dp[i][i] = A;
	}
	for(ll len = 2; len <= n; len++)
		for(ll i = 1; i + len - 1 <= n; i++){
			ll j = i + len - 1;
			for(ll x = 1; x <= tot; x++)
				for(ll y = 1; y <= tot; y++){
					f[i][j][min(x, a[j])][max(y, a[j])] = min(f[i][j][min(x, a[j])][max(y, a[j])], f[i][j - 1][x][y]);
					f[i][j][min(x, a[i])][max(y, a[i])] = min(f[i][j][min(x, a[i])][max(y, a[i])], f[i + 1][j][x][y]);
					for(ll k = i; k < j; k++)
						f[i][j][x][y] = min(f[i][j][x][y], min(f[i][k][x][y] + dp[k + 1][j], f[k + 1][j][x][y] + dp[i][k]));
				}
			for(ll x = 1; x <= tot; x++)
				for(ll y = 1; y <= tot; y++)
					dp[i][j] = min(dp[i][j], f[i][j][x][y] + A + B * (b[y] - b[x]) * (b[y] - b[x]));
		}
	printf("%lld\n", dp[1][n]);
	return 0;
}

End