UVA11610 Reverse Prime
Description
有一些小于\(10^6\)的质数，你需要把它们倒过来并补成一个 7 位数，例如质数 700001，将转变成 1000070，900001，将转变为 1000090，你要将转变后的数存成一个序列。输入有两种操作：
-
查询：输入
q i，你需要输出这个序列中前 \(i\) 小（包含 \(i\) ）的数的质因数个数的和。（注意是个数） -
删除：输入
d i，你需要把序列中第 \(i\) 小的数删除。
有多组输入
注意下角标从0开始
Solution
这道题我们考虑用树状数组解，首先我们用线性筛算出小于\(10^6\)的质数，并将这些质数倒过来补成 7 位数并存到一个数组里（比如说 \(a\) 数组），然后对 \(a\) 数组进行排序，再计算出 \(a\) 数组中每一个 7 位数的质因数个数存到另一个数组里，这样我们的预处理部分就完成了。
再来说如何做树状数组，我们需要两个树状数组，一个维护当前 \(i\) 节点之前有多少个数，另一个维护 \(i\) 节点之前所有数的质因数个数，我们需要将所有经过转变后的数都加进树状数组里，查询时利用二分查找一个有 \(i\) 个比本身小的数，删除时只需要把 -1 加进第一个树状数组，把该点的质因数个数的相反数加进第二个数状数组即可。
有一些小技巧，当计算每一个转换后的数的质因数个数时，由于质数最大也小于 7 位数，变为 7 位数至少多一个 0，所以直接让每一个数的质因数个数的初值为 2（10 可以拆成 \(2 * 5\)），质数转换时只转换为为 6 位数就可以了，可以看代码理解一下。
Code
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <map>
#define ll long long //答案是long long
#define N 1000000 //质数的最大范围
#define M 100010 //小于10^6的质数个数是78498个，这里开到100010
using namespace std;
map<int, int> mp; //由于数据范围过大，需要开map，其实也可以用离散化，不过我太蒻了，所以用的map
int p[N + 10], mindiv[N + 10], tot; //线性筛用的，tot为质数个数
int a[N + 10]; //记录转换后的7位数
int c1[N + 10], c2[N + 10]; //树状数组，c1记录数的个数，c2记录质因数个数
int c[M]; //记录每一个数的质因数个数
//----------------------树状数组模板，不细讲了，有两个树状数组，所以要写两遍.
int lowbit(int k){
return k & (-k);
}
void add1(int x, int y){
for(int i = x; i <= N; i += lowbit(i)) //没有固定数据范围，所以要到最大值
c1[i] += y;
}
void add2(int x, int y){
for(int i = x; i <= N; i += lowbit(i))
c2[i] += y;
}
ll getsum1(int x){
ll ans = 0;
for(int i = x; i > 0; i -= lowbit(i))
ans += c1[i];
return ans;
}
ll getsum2(int x){
ll ans = 0;
for(int i = x; i > 0; i -= lowbit(i))
ans += c2[i];
return ans;
}
//----------------------线性筛模板，也不讲了
void prime(){
for(int i = 2; i <= N; i++){
if(!mindiv[i]){
mindiv[i] = i;
p[++tot] = i;
}
for(int j = 1; j <= tot && p[j] * i <= N && p[j] <= mindiv[i]; j++)
mindiv[p[j] * i] = p[j];
}
}
//----------------------计算每一个经过转换后的6位数的质因数个数，至于为什么是6位数，请见代码上方的解释
void devide(int i){
c[i] = 2;
int tmp = a[i];
for(int j = 1; j <= tot && p[j] * p[j] <= tmp; j++) //小优化，如果p[j]*p[j]>tmp,就不会再有tmp的质因数
while(tmp % p[j] == 0)
c[i]++, tmp /= p[j];
if(tmp > 1) c[i]++;
}
//----------------------zh=转换,把每一个质数转换为新的6位数，值存在a数组中
int zh(int x){
int ans = 0, t = 0;
while(x)
t++, ans = ans * 10 + x % 10, x /= 10;
t = 6 - t;
while(t)
ans *= 10, t--;
return ans;
}
//----------------------预处理
void prework(){
for(int i = 1; i <= tot; i++) //转换
a[i] = zh(p[i]);
sort(a + 1, a + tot + 1); //从小到大排序
for(int i = 1; i <= tot; i++) //存到map中
mp[a[i]] = i;
for(int i = 1; i <= tot; i++) //计算每一个转换后的数的质因数个数
devide(i);
}
int main(){
prime();
prework();
for(int i = 1; i <= tot; i++){ //初始化树状数组
add1(i, 1);
add2(i, c[i]);
}
char ch[5];
int x;
while(scanf("%s%d", ch, &x) != EOF){
if(ch[0] == 'q'){
x++; //注意，题目中下角标从0开始，这里从1开始算，所以加1
int l = 1, r = tot, mid; //二分找答案，mid就是答案
while(l <= r){
mid = (l + r) >> 1;
ll tmp = getsum1(mid);
if(tmp == x) break;
if(tmp < x) l = mid + 1;
else r = mid - 1;
}
printf("%lld\n", getsum2(mid));
}else{ //删数时因为转换的是6位数，所以要/10
add1(mp[x / 10], -1);
add2(mp[x / 10], -c[mp[x / 10]]);
}
}
return 0;
}
