『学习笔记』fhq-treap（无旋treap）
（emm刚写了这个，就放这个吧）
\(fhq-treap\) 也叫做 无旋treap，由防火墙范浩强大佬发明。
个人认为是平衡树中码量最少，也最容易理解的一种写法。
主要思想
顾名思义，无旋意味着它没有旋转操作（终于没有恶心人的旋转了）。
事实上，无旋treap只有两种操作。
一种是 \(split\)（分裂），另一种是 \(merge\)（合并）。
平衡树中的各种操作都可以用这两个函数来搞定。下面我们来一一分析。
常见操作
-
插入一个整数 \(x\)
-
删除一个整数 \(x\)（若有多个相同的数，只删除一个）。
-
查询整数 \(x\) 的排名（排名定义为比当前数小的数的个数 +1）。
-
查询排名为 \(x\) 的数（如果不存在，则认为是排名小于 \(x\) 的最大数。保证 \(x\) 不会超过当前数据结构中数的总数）。
-
求 \(x\) 的前驱（前驱定义为小于 \(x\)，且最大的数）。
-
求 \(x\) 的后继（后继定义为大于 \(x\)，且最小的数）。
当然区间反转也是可以用无旋\(treap\) 实现的，这里先不讲。
函数解释
split（分裂）
\(split\) 函数要实现把一棵平衡树拆成两棵，左边的树上节点的值都小于等于 \(k\), 右边的树上节点的值都大于等于 \(k\)。
-
\(x:\) 当前子树根节点
-
\(k:\) 以 \(k\) 为分界线分割树
-
\(a, b:\) 分裂之后两棵子树的根，左边的子树根是 \(a\)，右边的根是 \(b\)，这里要传地址，方便写。
注意： 当根为 0 时，一定一定一定要清空 \(a\)，&b&，不然会死循环（我就在这里卡了好久QWQ）
inline void split(int x, int k, int &a, int &b){
if(!x){
a = b = 0; //清空清空清空（重要的事情说三遍）
return;
}
if(t[x].val <= k){
a = x; //左边子树已经分裂出去了，直接a=x
split(rs(x), k, rs(x), b); //在右子树上查找，把拆下来右子树上节点值<=k的点放回到x的右子树上
}else{
b = x; //同理
split(ls(x), k, a, ls(x));
}
pushup(x);
}
merge（合并）
\(merge\) 函数要实现把两个分开的树再合并到一起去，并返回合并后的根节点。
- \(x, y:\) 两棵树的根
这个操作类似于线段树合并。
注意：合并时只能是两个相邻的子树合并，不能跳着合并。
例如：树 \(rt\) ---> 子树\(a\) 和 子树\(b\)
子树\(b\) ---> 子树\(c\) 和 子树\(d\) （---> 表示拆成两棵树）
那么我们合并时，只能 \(merge(a, merge(c,d))\) 或 \(merge(merge(a, c), d)\)。
而不能 \(merge(merge(a, d), c)\)
inline int merge(int x, int y){
if(!x || !y) return x + y;
if(t[x].wei <= t[y].wei){ //wei是随机值，wei(x) <= wei(y) 时，让 y 作为 x 的子树
rs(x) = merge(rs(x), y);
pushup(x);
return x;
}else{ //反之，x 作为 y 的子树
ls(y) = merge(x, ls(y));
pushup(y);
return y;
}
}
insert（插入）
先新建一个点设为 \(y\)，把原树拆成 \(x\) 和 \(z\)。
\(x\) 中节点值 \(<= k\)，\(z\) 中节点值 \(>k\)。
然后一次合并 \(x\)，\(y\)，\(z\)即可。
inline void insert(int k){
t[++tot].val = k, t[tot].wei = rand();
t[tot].siz = 1;
split(root, k, a, b);
root = merge(merge(a, tot), b);
}
remove（删除）
这个就很巧妙了，我们把值 \(<=k\) 的树先拆出来设为 \(a\)，然后把值 \(<k\) 的点再拆出来，剩余的部分设为为 \(c\)。
那么现在 \(c\) 中的点就是 \(=k\) 的。
我们直接合并 \(c\) 的左右两棵子树，这样就相当于把根节点删了。
最后合并回去。
inline void remove(int k){
split(root, k, a, b); //拆，<=k的存到a里，>k的存到b里。
split(a, k - 1, a, c); //再拆，<k的存到a里，=k的存到里。
c = merge(ls(c), rs(c)); //合并c左右子树
root = merge(merge(a, c), b); //再把a，b合并上去。
}
check_rk
查询 \(k\) 的排名。
我们把 \(<k\) 的的点从树上分裂出来，然后分出来的树的大小 +1 就是排名。
别忘了合并回去。
inline int check_rk(int k){
int rank;
split(root, k - 1, a, b);
rank = t[a].siz + 1;
root = merge(a, b);
return rank;
}
check_val
查询排名为 \(k\) 的数。
我这里用的递归写法。
-
\(x\) 当前子树的根。
-
\(k\) 在当前子树中排名多少。
我这里用的递归写法。（代码应该挺好理解的吧）
inline int check_val(int x, int k){
if(k == t[ls(x)].siz + 1) return t[x].val;
if(k <= t[ls(x)].siz) return check_val(ls(x), k); //在左子树中，直接跑左子树里查
else return check_val(rs(x), k - t[ls(x)].siz - 1); //在右子树中，减去左子树大小，再减1（根），就是在右子树中的排名。
}
check_pre
查询前驱。
这个也好说，我们先查排名，设排名为 \(rk\)，我们再查排名为 \(rk - 1\) 的数是多少，就是前驱了。
inline int check_pre(int x){
return check_val(root, check_rk(x) - 1);
}
check_next
查询 \(x\) 的后继，基本同理，但略有不同。
因为 \(x\) 可能有多个，我们查 \(x\) 的排名后 +1，不一定是 \(x + 1\)，有可能还是 \(x\)。
那我们怎么办呢？
其实也不难，我们直接查 \(x + 1\) 的排名，没有？没关系，就算没有 \(x + 1\)，查出来的也是大于 \(x\) 的最小的数的排名。
然后我们再查一下这个排名的值即可。
inline int check_next(int x){
return check_val(root, check_rk(x + 1));
}
然后……就没有然后了吧。
主函数我就不用多说了吧。
完整代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#define ls(x) t[x].ch[0]
#define rs(x) t[x].ch[1]
using namespace std;
const int N = 2e6; //原本的数+操作数。最多有1.1e6个数
struct Tree{
int wei, val, siz, ch[2];
}t[N];
int n, m, tot, root;
int last, ans, a, b, c;
inline int read(){
int x = 0, f = 1;
char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
while(ch >= '0' && ch <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + ch - '0', ch = getchar();
return x * f;
}
inline void pushup(int x){
t[x].siz = t[ls(x)].siz + t[rs(x)].siz + 1;
}
inline void split(int x, int k, int &a, int &b){
if(!x){
a = b = 0;
return;
}
if(t[x].val <= k){
a = x;
split(rs(x), k, rs(x), b);
}else{
b = x;
split(ls(x), k, a, ls(x));
}
pushup(x);
}
inline int merge(int x, int y){
if(!x || !y) return x + y;
if(t[x].wei <= t[y].wei){
rs(x) = merge(rs(x), y);
pushup(x);
return x;
}else{
ls(y) = merge(x, ls(y));
pushup(y);
return y;
}
}
inline void insert(int k){
t[++tot].val = k, t[tot].wei = rand();
t[tot].siz = 1;
split(root, k, a, b);
root = merge(merge(a, tot), b);
}
inline void remove(int k){
split(root, k, a, b);
split(a, k - 1, a, c);
c = merge(ls(c), rs(c));
root = merge(merge(a, c), b);
}
inline int check_rk(int k){
int rank;
split(root, k - 1, a, b);
rank = t[a].siz + 1;
root = merge(a, b);
return rank;
}
inline int check_val(int x, int k){
if(k == t[ls(x)].siz + 1) return t[x].val;
if(k <= t[ls(x)].siz) return check_val(ls(x), k);
else return check_val(rs(x), k - t[ls(x)].siz - 1);
}
inline int check_pre(int x){
return check_val(root, check_rk(x) - 1);
}
inline int check_next(int x){
return check_val(root, check_rk(x + 1));
}
int main(){
n = read(), m = read();
for(int i = 1; i <= n; i++){
int x;
x = read();
insert(x);
}
while(m--){
int op, x;
op = read(), x = read() ^ last;
if(op == 1) insert(x);
else if(op == 2) remove(x);
else if(op <= 2) continue;
else if(op == 3) last = check_rk(x);
else if(op == 4) last = check_val(root, x);
else if(op == 5) last = check_pre(x);
else if(op == 6) last = check_next(x);
ans ^= last;
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
