洛谷 P4095 [HEOI2013]Eden 的新背包问题

Solution

原题链接

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算法：多重背包

我们平时写的多重背包中，\(f[i][j]\) 表示到第 \(i\) 个物品，占用体积为 \(j\) 时，获得的最大价值。

但是这道题中要求删去物品，如果每次询问都跑一遍多重背包显然会 \(TLE\)，我们考虑优化。

可以设 \(f[i][j]\) 表示到第 \(i\) 个物品，但是删去它，占用体积为 \(j\) 时，获得的最大价值，诶，这样不就是 \(f[i - 1][j]\) 嘛=-=。

但是这样会有问题，我们没有计算 \(i\) 之后物品的贡献，所以也不行。

换一个角度思考，题目不是要求删一个物品吗？那我们正着跑一边多重背包，再倒着跑一遍，如果删去 \(x\) 那么输出 \(max(f1[x - 1][j] + f2[x + 1][V - j])\) 即可。

另外，朴素的多重背包还是无法通过此题的，要进行优化，这里我用的是二进制拆分优化多重背包。

如果不会的话，详见我的博客 洛谷 P1833 樱花

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define ll long long

using namespace std;

const int N = 1010;
const int Q = 3e5 + 10;
const int M = 1000;
int a[N], b[N], c[N];
int n, m, num;
ll w[N * 15], v[N * 15];
int id[N * 15];
ll f1[N * 15][N], f2[N * 15][N];        //f1：正着    f2：反着    注意：第一维不能压掉，我们还要记录第几个物品

inline int read(){
    int x = 0;
    char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') ch = getchar();
    while(ch >= '0' && ch <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + ch - '0', ch = getchar();
    return x;
}

void prework(){                        //二进制拆分模板
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        int tmp = 1;
        while(c[i]){
            w[++num] = tmp * a[i];
            v[num] = tmp * b[i];
            id[num] = i;
            c[i] -= tmp;
            tmp *= 2;
            if(c[i] < tmp && c[i]){
                w[++num] = c[i] * a[i];
                v[num] = c[i] * b[i];
                id[num] = i;
                break;
            }
        }
    }
}

int main(){
    n = read();
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        a[i] = read(), b[i] = read(), c[i] = read();
    m = read();
    prework();
    n = num;
    for(int i = 1; i <= n; i++){                //正着
        for(int j = 0; j <= M; j++)
            f1[i][j] = f1[i - 1][j];
        for(int j = M; j >= w[i]; j--)
            f1[i][j] = max(f1[i][j], f1[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
    }
    for(int i = n; i >= 1; i--){                //反着
        for(int j = 0; j <= M; j++)
            f2[i][j] = f2[i + 1][j];
        for(int j = M; j >= w[i]; j--)
            f2[i][j] = max(f2[i][j], f2[i + 1][j - w[i]] + v[i]);
    }
    while(m--){
        int x, V, l = 0, r = n;
        ll ans = 0;
        x = read() + 1, V = read();                //注意编号从0开始
        while(l < n && id[l] < x) l++;            //二进制拆分后物品x被拆成了很多个，要找出左右端点
        while(r > 0 && id[r] > x) r--;
        for(int i = 0; i <= V; i++)
            ans = max(ans, f1[l - 1][i] + f2[r + 1][V - i]);
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

End