『学习笔记』线段树合并（洛谷P4556）
线段树合并
洛谷 P4556 [Vani有约会]雨天的尾巴 /【模板】线段树合并
主要思想：
顾名思义，线段是合并就是将多棵线段树合并到一起，要求线段树维护的数据可以支持合并，例如最大值，区间和等。
我们在进行合并时要把两棵线段树上相同的结构点合并到一起，换句话说，就是两棵线段树当前要合并的点所表示的区间是一样的。
例如，区间长度是 \(8\)，那么我们合并时要把 \([1,8]\) 和 \([1,8]\) 合并到一起， \([5,8]\) 和 \([5,8]\) 合并到一起。
好了，我们知道了主要思想后下面来看如何实现。
题解：
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对于洛谷P4556这道题来说，我们要对这 \(n\) 个房屋每个点都建一棵权值线段树。
何为权值线段树：就是以题目中救济粮 \(z\) 为下角标建线段树，维护每种救济粮个数以及最多的是哪种.
\(sum[z]\) 记录种类为 \(z\) 的救济粮有多少。
\(maxz[rt]\) 记录第 \(rt\) 个房屋中数量最多的救济粮种类是多少。
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对于每次发放救济粮，暴力更新 \(x\) 到 \(y\) 的链是不现实的，这时我们就要用到树上差分的思想。
令 \(sum[x]++ ， sum[y]++\) 且 \(sum[lca(x,y)]-- ，sum[fa[lca(x,y)]]--\)，这样对于一个点来说，它的被覆盖次数（救济粮个数）就是以它为根的子树权值和。
思考一下为什么，可以手玩一下，随便挑几个点试试（emm应该挺好理解的吧，这里不再赘述了）
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下面再来谈谈动态开点线段树，我们不需要把整棵树都建出来，需要用哪个点就建哪个点。
直接令新节点等于 \(++cnt\)。
这样一来对于节点 \(rt\) ，它的左子树就不再是 \(rt<<1\)，右子树也不再是 \(rt<<1|1\)，所以我们要存 \(ls[rt]\) 和 \(rs[rt]\)
完整代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define log 20
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
const int M = 80 * N;
const int maxR = 1e5;
struct node{
int v, nxt;
}edge[N << 1];
int head[N], tot;
int n, m, cnt;
int f[N][21], dep[N];
int sum[M], maxz[M], ls[M], rs[M];
int ans[N], root[N];
inline int read(){
int x = 0, f = 1;
char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
while(ch >= '0' && ch <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + ch - '0', ch = getchar();
return f * x;
}
inline void add(int x, int y){
edge[++tot] = (node){y, head[x]};
head[x] = tot;
}
//----------------------------------------查找lca部分
//dfs预处理
void dfs(int x, int fa){
f[x][0] = fa;
dep[x] = dep[fa] + 1;
for(int i = 1; i < log; i++)
f[x][i] = f[f[x][i - 1]][i - 1];
for(int i = head[x]; i; i = edge[i].nxt){
int y = edge[i].v;
if(y == fa) continue;
dfs(y, x);
}
}
//lca模板
int lca(int a, int b){
if(dep[a] < dep[b]) swap(a, b);
for(int i = log - 1; i >= 0; i--)
if(dep[f[a][i]] >= dep[b])
a = f[a][i];
if(a == b) return a;
for(int i = log - 1; i >= 0; i--)
if(f[a][i] != f[b][i]){
a = f[a][i];
b = f[b][i];
}
return f[a][0];
}
void pushup(int rt){
if(sum[ls[rt]] >= sum[rs[rt]])
sum[rt] = sum[ls[rt]], maxz[rt] = maxz[ls[rt]];
else sum[rt] = sum[rs[rt]], maxz[rt] = maxz[rs[rt]];
}
//----------------------------------------动态开点 或 更新权值线段树
void update(int &rt, int l, int r, int z, int val){
if(!rt) rt = ++cnt; //动态开点
if(l == r){
sum[rt] += val;
maxz[rt] = z;
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
if(z <= mid) update(ls[rt], l, mid, z, val);
else update(rs[rt], mid + 1, r, z, val);
pushup(rt);
}
//----------------------------------------线段树合并
int merge(int u, int v, int l, int r){
if(!u || !v) return u + v; //这里相当于一棵树为空的话，返回另一棵树，取个巧
if(l == r){
sum[u] += sum[v];
return u;
}
int mid = (l + r) >> 1;
ls[u] = merge(ls[u], ls[v], l, mid);
rs[u] = merge(rs[u], rs[v], mid + 1, r);
pushup(u);
return u;
}
//----------------------------------------计算答案
void calc(int x, int fa){
for(int i = head[x]; i; i = edge[i].nxt){
int y = edge[i].v;
if(y == fa) continue;
calc(y, x);
root[x] = merge(root[x], root[y], 1, maxR); //整棵树从下到上合并
}
ans[x] = maxz[root[x]];
if(!sum[root[x]]) ans[x] = 0;
}
int main(){
n = read(), m = read();
for(int i = 1; i < n; i++){
int u, v;
u = read(), v = read();
add(u, v), add(v, u);
}
dfs(1, 0);
while(m--){
int x, y, z;
x = read(), y = read(), z = read();
int k = lca(x, y);
update(root[x], 1, maxR, z, 1); //树上差分
update(root[y], 1, maxR, z, 1);
update(root[k], 1, maxR, z, -1);
update(root[f[k][0]], 1, maxR, z, -1);
}
calc(1, 0);
for(int i = 1; i <= n; i++)
printf("%d\n", ans[i]);
return 0;
}
