数学——莫尼乌斯反演 - 随笔分类 - xixike

摘要：本文主要讲一下最大公约数的和的推导过程（因为其太过经典，其实是博主老忘）。原式：

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} gcd (i, j)

$\sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^n\gcd(i, j)$ 莫比乌斯反演经典入门题。话不多说，进入正文。 \[ \begin{aligned} & \sum\limits_{i = 1

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P6222 「P6156 简单题」加强版题解

摘要：Description Luogu传送门 Solution 加强版就只是纯粹的加强版，取模可以省掉，直接自然溢出即可，还是简单讲一讲吧。首先，我们不难发现，

f (x) = μ^{2} (x)

$f(x) = \mu^2(x)$ 。然后就是一波基础而不失难度的推式子。 \[ \begin{aligned} & \sum\limit

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P6156 简单题题解

摘要：Description 洛谷 P6156 简单题 Solution 题意非常清晰明了。首先，我们不难发现，

f (x) = μ^{2} (x)

$f(x) = \mu^2(x)$ 。然后就是一波基础而不失难度的推式子。 \[ \begin{aligned} & \sum\limits_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^n

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AT5200 [AGC038C] LCMs 题解

摘要：Description Luogu传送门 SOlution 题意非常清晰明了，下面我们来谈一谈如何求解。实际上跟 P3391 是一样的，我们先考虑

i

$i$ 和

j

$j$ 都从 1 开始的情况，即： \(\sum\limits_{i = 1}^n\sum\limits_{j = 1}^nlcm

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P3911 最小公倍数之和题解

摘要：Description Luogu传送门 SOlution 题意非常清晰明了，下面我们来谈一谈如何求解。直接求是不太行的，所以我们把输入的属放到一个桶里面，设为

t

$t$ 。那么我们最终要求的答案就是： \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n lcm(i,j)\times t[i

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P1390 公约数的和题解

摘要：Description Luogu传送门 Solution 莫比乌斯反演经典入门题。题目里面各种推式子的过程也很经典。话不多说，进入正文。我们先不管题目，求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} g c d (i, j)

$\sum\limits_{i = 1}^n\sum\limits_{j = 1}^ngcd(i, j)$ 下面就是一波愉快的推式子

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数论小总结『杂』

摘要：常见的数论函数恒等函数：

I (n) = 1

$I(n) = 1$ 元函数：

ϵ (n) = [n = 1]

$\epsilon(n) = [n = 1]$ 单位函数：

i d (n) = n

$id(n) = n$ 除数函数：输出函数用

σ_{k} (n)

$\sigma_k(n)$ 表示

n

$n$ 的

k

$k$ 次方的的和，即 \(\sigma_k(n) = \sum

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