摘要：
根据上一节Cauchy-Goursat定理,我们立即可以得到许多重要的结果.Taylor定理：如果$f(z)$在$\Omega$内全纯且在$\overline{\Omega}$上连续,则$f(z)$在$\Omega$内任一点处都无穷次可微,并且各阶导数有计算公式\[f^{(n)}(z)=\fra... 阅读全文
摘要：
前面我们提到Cauchy积分公式和定理都要求函数$f(z)\in C^1(\overline{\Omega})$,事实上这个条件可以减弱,而这个要归功于Goursat.我们有Cauchy-Goursat积分公式:设$\Omega\subset\mathbb C$为有界区域,且$\partial\... 阅读全文
摘要：
为了复习这个,我们先来看看复数域上的级数如何定义的.这与$\mathbb R$上一样.称一个复级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}z_{n}(z_{n}\in\mathbb C)$收敛是指其部分和$S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}z_{k}$收敛,并将... 阅读全文
摘要：
复值函数的积分是这样定义的.设有向曲线$\gamma:z=z(t),t\in[\alpha,\beta]$,并且$a=z(\alpha)$为起点,$b=z(\beta)$为终点.现沿着$\gamma$方向任取分点\[a=a_{0},a_{1},\cdots,a_{n}=b\]考虑和式$$S_{n... 阅读全文
摘要：
复变函数的概念可以从数学分析中平移过来.如同实函数一样我们来定义$\mathbb C$上的复值函数$w=f(z)$的连续性,为了方便,我们假设$f(z)$是单值的.我们称如果$$\lim_{z\to z_{0}}f(z)=w_{0}$$用$\varepsilon-\delta$语言表述即为:对任... 阅读全文
摘要：
关于复数的辐角、主辐角都没什么可说的.只要注意一点就是复数$z$的主辐角的取值范围\[0\leq\arg z<2\pi\]显然$[0,+\infty)$上的点都是$\arg$的间断点.并且$\arg$是$\mathbb{C}\setminus\{0\}\to[0,2\pi)$的单值函数.但是辐角${... 阅读全文
摘要：
最近想学习一下复分析，正好开通了博客园，于是便想借此来学习一下.首先简单复习一下外微分形式的一些运算规则.我们定义微分${\rm d}x,{\rm d}y$的外积${\rm d}x\wedge{\rm d}y$,需要满足\[{\rm d}x\wedge{\rm d}y=-{\rm d}y\wedge... 阅读全文