摘要：
习题：2.设$R$是无零因子环,只有有限个元素但至少有两个元素.证明$R$是体.证明 只需说明$\{R^*;\cdot\}$构成群即可.由于$R$是环,因此$\{R^*;\cdot\}$构成有限半群;此外$R$无零因子,所以$\{R^*;\cdot\}$满足左右消去律,从而$\{R^*;\cdot... 阅读全文
摘要：
习题4.证明：置换群$G$中若含有奇置换，则$G$必有指数为$2$的子群.证明 易知$G$中若有奇置换，则奇偶置换各半.不妨设$G$的偶置换为$${\rm id}=\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{m}$$而奇置换$\phi_{1},\cdots,\phi_... 阅读全文
摘要：
习题：5.设$G$为循环群,$N$,那么不难证明$$G/N=.$$6.设$a,b$分别为群$G$中的$m,n$阶元素,且满足$$ab=ba,\cap=\{e\}$$证明:$ab$的阶为$[m,n]$.证明 设$ab$的阶为$d$,由于$$(ab)^{[m,n]}=a^{[m,n]}b^{[m,n]... 阅读全文
摘要：
习题：4.证明指数为$2$的子群必正规.证明 设$G$为群且$H$为循环群,从而其任一子群$H$也必为循环群,因此存在$m\in\mathbb Z$使得$$H==m\mathbb Z$$由于循环群是后面的内容，此处也可用另一方法：若$H=\{0\}$,那么结论显然；若$H\neq\{0\}$,则考... 阅读全文
摘要：
习题：7.请把定理1.4.10改写成更一般的语言来叙述,第一句是:"设$f$是群$G_{1}$到$G_{2}$的满同态,且$H<G_{1}$,并记$N={\rm Ker}f$,则……"解答 与该定理类似的我们有：(1)$HN$是$G_{1}$中包含$N$的子群且$$HN=f^{-1}(f(H))$... 阅读全文
摘要：
问题：证明\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\notin\mathbb N,\forall n\geq2.\]证明 首先根据Chebyshev定理,在$(\frac{n}{2},n]$上必存在素数$p$,那么显然$p\mid n!$且\[p\mid\frac{n!}{k},k=... 阅读全文
摘要：
前面我们得到关于全纯函数导数的估计式\[|f'(z_{0})|\leq\frac{1}{r}\cdot\sup\limits_{z\in B(z_{0},r)}|f(z)|\]如果我们设$f(z)$在整个复平面$\mathbb C$上有界,在上式中令$r\to\infty$即得\[f'(z_{0... 阅读全文
摘要：
学过线性代数我们都知道，对于矩阵，很容易理解，它就是一个数表！但是对于行列式，就是一个数！我们自然会问，这个数到底是个什么呢？为什么它就这么定义计算式呢？ 线性代数中,我们知道给定的$n$阶方阵$A=(a_{ij})_{n\times n}$,其行列式的计算公式就定义为\[\det A=\su... 阅读全文
摘要：
复习8中我们得到单位分解定理,现在便可以推导一个全纯函数各阶导数在紧集上的一致估计了.我们先来证明一个引理,事实上他是单位分解定理的一个简单推论:设$\Omega\subset\mathbb C$为开集,$K$为$\Omega$的紧致子集,$V$为$K$的开邻域且$V\subset\Omega$... 阅读全文
摘要：
复习7中最后我们得到了全纯函数各阶导数的一个估计,但是这个估计是比较粗糙的,而且还仅仅是在一点处的估计，事实上利用Pompeiu公式我们还可以得到一个更深刻的结果，我们需要先来证明一个引理，即所谓的单位分解定理. 在复平面$\mathbb C$上,定义标准函数\[\theta(z)=\left... 阅读全文