摘要：问题 证明如下Cauchy矩阵正定$$A=\left(\frac{1}{a_{i}+a_{j}}\right)_{n\times n},a_{i}\neq a_{j}>0$$证明不难,由于他的各阶顺序主子式是可求的,容易验证均为正,从而$A$正定；另一方法是利用欧式空间一组基的度量矩阵必为正定的,... 阅读全文

摘要：称行列式$$\det A=\det\left(\frac{1}{a_{i}+b_{j}}\right)_{n\times n}$$为Cauchy行列式,我们来计算他：由于$$\det\left(\frac{1}{a_{i}+b_{j}}\right)_{n\times n}=\frac{1}{\pr... 阅读全文

摘要：问题 设$f\in H(B(0,1)\cup\{1\})$,且$$f(B(0,1))\subset B(0,1),f(1)=1$$证明$f'(1)\geq0$.几何上来看是显然的,如下图$z=1$的邻域,也就是图中阴影部分一定不会发生旋转,及时旋转,旋转角必为$2k\pi$,否则无法保证$$f(B(... 阅读全文

摘要：取$B(0,1)\setminus\{0\}$上的调和函数$\log|z|$,那么他不可能是$B(0,1)\setminus\{0\}$上某个全纯函数的实部.否则设$$f(z)=\log|z|+iu(z)\in H(B(0,1)\setminus\{0\})$$其中$u(z)$是实值的.那么$e^{... 阅读全文

摘要：对于有限群$G$,我们有:如果其任意两个非空子集$A,B$,如果$$|A|+|B|>|G|$$则必有$G=AB$. 阅读全文