史济怀《复变函数》一道习题的解答

问题   

设$f\in H(B(0,1)\cup\{1\})$,且$$f(B(0,1))\subset B(0,1),f(1)=1$$

证明$f'(1)\geq0$.

 

几何上来看是显然的,如下图

$z=1$的邻域,也就是图中阴影部分一定不会发生旋转,及时旋转,旋转角必为$2k\pi$,否则无法保证$$f(B(0,1))\subset B(0,1).$$

所以肯定有$f'(1)\geq0$.

 

证明    由于\begin{align*}f'(1)&=\lim_{z\to1}\frac{f(z)-1}{z-1}\\\Rightarrow f(z)&=1+f'(1)(z-1)+o(|z-1|)\\\Rightarrow |f(z)|^2&=f(z)\overline{f(z)}=1+2{\rm Re}f'(1)(z-1)+o(|z-1|)<1\\\Rightarrow {\rm Re}f'(1)(1-z)&>o(|1-z|)\\\Rightarrow {\rm Re}f'(1)e^{i\theta}&>\frac{o(|1-z|)}{|1-z|}\end{align*}

上式两端令$z\to1$可知$${\rm Re}f'(1)e^{i\theta}\geq0$$

其中$\theta={\rm arg}(1-z)$,显然$\theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$,分别取$$\theta=0,-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}$$

可得\begin{align*}{\rm Re}if'(1)\geq0;-{\rm Re}if'(1)&\geq0;{\rm Re}f'(1)\geq0\\\Rightarrow f'(1)&\geq0\end{align*}

 

利用这个题目的结论便可以解决下面一题：

设$f\in H(B(0,1))$,如果存在$z_{0}\in B(0,1)\setminus\{0\}$使得$$f(z_{0})\neq0,f'(z_{0})\neq0$$

且$$|f(z_{0})|=\max\limits_{|z|\leq|z_{0}|}|f(z)|$$

那么有$$\frac{z_{0}f'(z_{0})}{f(z_{0})}>0.$$

我们考虑函数$$g(z)=\frac{z_{0}f(zz_{0})}{f(z_{0})}$$

并利用上题结论即可.

另一方法可以充分利用题目中模在园内为最大值的条件.分别考虑函数$$g(\theta)=\left|f\left(z_{0}e^{i\theta}\right)\right|^2,h(t)=|f(tz_{0})|^2$$

即可